Formalisme mathématique

Pour apprendre le bruit de Pauli d'un ensemble de portes Clifford, une technique d'analyse courante consiste à suivre comment chaque opérateur de Pauli est transformé à travers une séquence d'applications de portes (en supposant que les portes sont Clifford et que le bruit est un canal de Pauli, un Pauli unique sera toujours envoyé sur un autre Pauli, à un scalaire près qui est une fonction du bruit). Évidemment, l'évolution de n'importe quel état sous une telle séquence peut être capturée par une combinaison linéaire de telles trajectoires, mais sous l'hypothèse que nous préparons toujours l'état dans un état propre de Pauli, et que nous mesurons et post-traitons toujours les résultats pour calculer la valeur moyenne d'un opérateur de Pauli, la relation entre la valeur moyenne et les paramètres du modèle de bruit dépendra toujours d'une seule de ces trajectoires. Cela découle du simple fait que l'état initial est une combinaison linéaire d'opérateurs de Pauli, que chaque porte et chaque modèle de bruit envoie des Pauli sur des Pauli en préservant leur orthogonalité, et que la valeur moyenne finale « sélectionne » un seul des Pauli de la décomposition finale avant la mesure.

Ce type de raisonnement apparaît dans de nombreuses pistes de recherche parallèles sur l'apprentissage du bruit, notamment dans la littérature sur l'apprentissage d'ensembles de portes de Pauli [1, 2], la littérature ACES [3] et la littérature sur le cycle benchmarking [4]. Ce raisonnement a été généralisé dans [5] pour inclure les portes Clifford-MCM (une porte Clifford suivie d'une mesure projective en milieu de circuit). Ce paquet suit au plus près [1, 5]. Sans la nommer explicitement, nous adoptons le formalisme du Pattern Transfer Graph (PTG) pour décrire comment les opérateurs de Pauli évoluent à travers les circuits d'apprentissage, ce qui fournit une représentation directe des données sous forme de chemins dans le graphe.

Ce qui suit est une revue de quelques concepts mathématiques fondamentaux issus de la littérature. Elle vise principalement à consolider les notations et à servir de référence conceptuelle pour le reste du paquet.

1. Contexte

1.1 Notation

Pour $K \in \mathbb{N}$, soit $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Pour un ensemble fini $S \subset \mathbb{N}$ d'indices de qubits, soit $\mathcal{P}^S$ l'ensemble des opérateurs de Pauli sans phase agissant sur ces qubits. Notons que nous considérons les éléments de $\mathcal{P}^S$ comme des fonctions envoyant $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, de sorte que pour tout $P \in \mathcal{P}^S$ et $T \subseteq S$, $P|_T$ désigne la restriction de $P$ au sous-ensemble de qubits $T$. Dans le même esprit, pour des ensembles disjoints $S, T$, et $P \in \mathcal{P}^S$ et $Q \in \mathcal{P}^T$, $P \otimes Q$ désigne l'élément de $\mathcal{P}^{S \cup T}$ tel que $P \otimes Q |_S = P$ et $P \otimes Q |_T = Q$. Cette notation est utile pour éviter de traiter explicitement les ordres des sous-systèmes et pour décrire facilement les restrictions.

Pour des sous-ensembles finis $M \subset \mathbb{N}$, nous notons $\mathbb{Z}_2^M$ l'ensemble des chaînes de bits dont les éléments sont indexés par $M$. Comme ci-dessus, nous considérons les éléments comme des fonctions envoyant $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, de sorte que nous pouvons facilement décrire des sous-chaînes en termes de restrictions de l'ensemble d'indices.

Enfin, pour une matrice $X$, nous utilisons $| X \rangle\!\rangle$ pour désigner sa vectorisation. Vu la façon limitée dont nous utilisons cette notation, il n'est pas réellement nécessaire de choisir une convention de vectorisation précise. Pour une chaîne de bits classique $m$, nous utilisons la notation abrégée $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Instruments quantiques

Une opération quantique produisant des bits classiques $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (par exemple, le résultat d'une mesure) est généralement modélisée comme une application linéaire de la forme :

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

où l'ensemble $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ est constitué d'applications complètement positives, et $\sum_m \mathcal{E}_m$ préserve la trace. Un ensemble d'applications complètement positives $\{\mathcal{E}_m\}$ satisfaisant ces propriétés s'appelle un instrument quantique. Une porte unitaire est un cas particulier d'instrument avec un seul élément, qui est une opération unitaire.

2. Portes Clifford-MCM-reset bruitées

Le formalisme utilisé dans ce paquet suppose que chaque porte de l'ensemble de portes à caractériser consiste en la séquence d'opérations suivante sur $K$ qubits :

1. Une opération Clifford sur tous les qubits.

2. Une mesure projective en milieu de circuit selon $Z$ sur un sous-ensemble de qubits $M \subseteq [K]$.

3. Une réinitialisation en milieu de circuit vers l'état fondamental $Z$ sur un sous-ensemble de qubits $R \subseteq [K]$.

Il s'agit d'une classe générale d'opérations qui inclut les portes Clifford unitaires, la mesure, la préparation d'état et toute combinaison de ces éléments. Notons que nous supposons que la mesure et la réinitialisation se font toujours selon l'axe $Z$ pour chaque qubit. Bien que ce ne soit pas strictement requis, c'est une caractéristique courante de nombreuses modalités de l'informatique quantique, et cela permet des représentations et des analyses simplifiées.

Comme décrit dans [5, 6] pour le cas sans réinitialisation, si une stratégie de twirling spécifique est appliquée à une instance bruitée d'une telle porte, alors l'action de l'opération résultante peut être modélisée mathématiquement comme un instrument de Pauli uniforme. C'est-à-dire que, dans la notation des instruments quantiques, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, où $G$ est l'unitaire Clifford, et :

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

où chaque $\Lambda_{a,b}$ est un canal de Pauli sous-normalisé sur les qubits non mesurés $N = [K] \setminus M$. Du fait qu'il s'agit d'un instrument quantique, il est sous-entendu que $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ préserve aussi la trace. Quelques remarques :

• Le bruit initial sans twirling est modélisé de manière à inclure à la fois des erreurs « quantiques » et « classiques » : des opérations erronées sur les registres quantiques, ainsi que des erreurs dans le rapport de la valeur de mesure.

• L'application de bruit $\Lambda_{a,b}$ est indépendante du résultat de mesure $m$.

En mots, un seul terme de la somme ci-dessus représente l'observation d'un résultat de mesure $m$ alors que l'état mesuré était $| m + b \rangle$ (une erreur de classification si $b \neq 0$), et que l'état de sortie sur le registre de mesure est $| m + a \rangle$ (le « mauvais » état lorsque $a \neq 0$). L'application $\Lambda_{a,b}$ encode simultanément l'action sur les qubits non mesurés (conditionnée par le comportement de la mesure) et la probabilité du comportement de mesure spécifique (via la normalisation).

Notons que nous ne nous intéressons pas ici aux détails de la stratégie de twirling : il suffit qu'une telle stratégie existe pour mettre le canal sous la forme ci-dessus. Notons que des stratégies de twirling plus « fines » existent et peuvent restreindre davantage la forme des canaux de Pauli [7] ; cependant, nous prenons la forme ci-dessus comme la représentation mathématique la plus générale considérée.

Dans le lemme 1 de [5], il est montré que $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ peut être réécrit comme :

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

pour certains nombres réels $\lambda_{x,y}^Q$, appelés les fidélités de l'instrument.

Ajouter la réinitialisation à ce tableau est relativement direct. Une opération de réinitialisation bruitée sur les qubits $R \subset [K]$ peut être modélisée selon la décomposition :

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

La forme ci-dessus utilise explicitement l'hypothèse que la réinitialisation se fait selon l'axe $Z$ pour chaque qubit. Le bruit de l'opération est encodé dans les fidélités de réinitialisation $\lambda_r$, qui sont simplement indexées par des sous-ensembles de qubits.

Un analogue de l'équation (1) qui inclut une opération de réinitialisation à la fin peut être obtenu en la composant simplement avec l'équation (2). Cette composition, après simplification, donne :

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Cette décomposition indique que le nombre de fidélités $\lambda^Q_{x, y}$ est

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Considérons des cas limites : (1) Sans mesure ni réinitialisation, $M = R = \emptyset$, et l'expression donne $4^K$, le nombre d'opérateurs de Pauli sans phase sur $K$ qubits. (2) Pour $M = \emptyset$ et $R=[K]$, cela donne $2^K$, qui est le nombre de sous-ensembles de $[K]$. Enfin, (3) pour $M = [K]$ et $R = \emptyset$, cela donne $4^K$. Notons que cela peut sembler surprenant au premier abord : pour l'apprentissage standard, la mesure et la réinitialisation sont généralement considérées comme ayant le même nombre de fidélités : $2^K$. Cependant, ici la porte de mesure totale est comprise dans ce contexte non pas comme une mesure terminale, mais comme une MCM, et de ce fait les fidélités correspondant à des sorties non identité de la mesure sont également incluses (comme $y \neq 0$ dans l'équation (3)).

Enfin, il est important de noter que toute stratégie de twirling donnant la forme de l'équation (1) dans le cas sans réinitialisation s'applique tout aussi bien au cas non trivial avec réinitialisation, moyennant une modification simple. Le problème potentiel est qu'une telle stratégie de twirling peut exiger des opérations sur des qubits mesurés après la mesure. Par conséquent, si un qubit est mesuré et réinitialisé, l'implémentation de la stratégie semble exiger d'insérer des opérations à l'intérieur de la porte entre la mesure et la réinitialisation. Cependant, vu la nature de la réinitialisation, de telles opérations n'ont aucun effet et peuvent simplement être omises tout en obtenant la même structure souhaitée.

3. Formalisme des chemins

Comme décrit dans l'introduction, tous les algorithmes d'apprentissage du bruit de type Pauli sur des portes Clifford reposent sur le suivi de l'évolution de chaque Pauli à travers un circuit, en accumulant des facteurs de fidélité du bruit au passage. Les valeurs moyennes d'un circuit composé de telles portes sont donc simplement liées à des produits des fidélités sous-jacentes des portes individuelles, et de cette façon les paramètres du modèle peuvent être inférés en inversant l'application paramètres-vers-fidélités éparse qui est supposée.

Dans [1], dans le contexte des ensembles de portes unitaires, cela est formalisé en Pattern Transfer Graph (PTG) : un graphe orienté décrivant toutes les expériences possibles constituées d'éléments de l'ensemble de portes et de couches de portes Clifford à un qubit (supposées être des opérations parfaites, ou « gratuites »). Cela a été généralisé dans [5] pour inclure les ensembles de portes avec mesures en milieu de circuit. Dans les deux cas, chaque expérience est décrite en suivant un seul opérateur de Pauli à travers le circuit, en supposant qu'une observable particulière est calculée à chaque site de mesure. Nous ne revoyons pas directement ici les constructions du graphe ou des chemins ; cependant, nous présentons les faits nécessaires pour les justifier dans notre propre notation et avec les réinitialisations incluses.

Si le suivi d'un seul opérateur de Pauli à travers le circuit peut être intuitif dans le cas d'un ensemble de portes unitaires, il ne s'applique pas aussi évidemment au cas plus général Clifford-MCM-reset, en raison de la nature non déterministe de la mesure. La proposition suivante rétablit cette image même dans le cas plus général [5] :

Proposition 1

Pour tout $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ et $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$, on a :

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Autrement dit, si nous calculons la valeur moyenne $Z^{x + y|_M}$ sur le registre classique produit par la MCM, alors l'évolution « en représentation de Heisenberg » d'une observable à travers la porte Clifford-MCM-reset envoie $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Ce fait seul permet de retrouver une analyse de type PTG au-delà du cas des ensembles de portes unitaires : avec un post-traitement particulier des résultats de mesure, même les portes avec mesures et réinitialisations peuvent être vues comme envoyant de façon déterministe un opérateur de Pauli sur un autre.

Avant de le démontrer, nous écrivons l'équation (3) de manière plus suggestive. Notons que pour $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$, on a $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, et ainsi (en notation de super-opérateurs) nous avons :

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

où nous avons appliqué l'équation (3) et regroupé les termes, et où nous utilisons l'indice $M$ pour désigner le registre classique des résultats de mesure, que nous traitons ci-dessus avec une notation similaire à celle des registres quantiques.

Preuve. On a :

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Enfin, observons que $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, et donc le dernier terme ci-dessus se réduit au seul terme $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, ce qui donne le résultat voulu.

Voir [5] pour la suite du développement : la définition du PTG, les chemins dans le PTG, et la preuve que tout chemin correctement défini correspond à une expérience.

Références

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.