Information quantique

Nous sommes maintenant prêts à aborder l'information quantique dans le cadre des systèmes multiples. Comme dans la leçon précédente sur les systèmes simples, la description mathématique de l'information quantique pour les systèmes multiples est très similaire au cas probabiliste et fait appel à des concepts et techniques analogues.

États quantiques

On peut considérer plusieurs systèmes collectivement comme un seul système composite. Nous avons déjà observé cela dans le cadre probabiliste, et le cadre quantique est analogue. Les états quantiques de systèmes multiples sont donc représentés par des vecteurs colonnes à entrées complexes et de norme euclidienne égale à $1,$ tout comme les états quantiques de systèmes simples. Dans le cas de systèmes multiples, les entrées de ces vecteurs sont mises en correspondance avec le produit cartésien des ensembles d'états classiques associés à chacun des systèmes individuels, car c'est l'ensemble d'états classiques du système composite.

Par exemple, si $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des qubits, alors l'ensemble d'états classiques de la paire de qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ vu collectivement comme un système unique, est le produit cartésien $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ En représentant les paires de valeurs binaires comme des chaînes binaires de longueur deux, on associe cet ensemble produit cartésien à l'ensemble $\{00,01,10,11\}.$ Les vecteurs suivants sont donc tous des exemples de vecteurs d'état quantique de la paire $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{et} \quad \vert 01 \rangle.$$

Il existe différentes façons d'exprimer les vecteurs d'état quantique de systèmes multiples, et on peut choisir celle qui nous convient le mieux. Voici quelques exemples pour le premier vecteur d'état quantique ci-dessus.

1. On peut utiliser le fait que $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (pour tout états classiques $a$ et $b$) pour écrire à la place

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. On peut choisir d'écrire explicitement le symbole du produit tensoriel comme ceci :

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. On peut indicer les kets pour indiquer à quels systèmes ils correspondent, comme ceci :

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Bien sûr, on peut aussi écrire les vecteurs d'état quantique explicitement sous forme de vecteurs colonnes :

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Selon le contexte, l'une de ces variantes peut être préférée — mais elles sont toutes équivalentes dans le sens où elles décrivent le même vecteur.

Produits tensoriels de vecteurs d'état quantique

Comme pour les vecteurs de probabilité, les produits tensoriels de vecteurs d'état quantique sont aussi des vecteurs d'état quantique — et ils représentent à nouveau l'indépendance entre systèmes.

Plus précisément, en commençant par le cas de deux systèmes, supposons que $\vert \phi \rangle$ est un vecteur d'état quantique d'un système $\mathsf{X}$ et $\vert \psi \rangle$ est un vecteur d'état quantique d'un système $\mathsf{Y}.$ Le produit tensoriel $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ qui peut aussi s'écrire $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ ou $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ est alors un vecteur d'état quantique du système joint $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ On appelle à nouveau un état de cette forme un état produit.

Intuitivement, lorsqu'une paire de systèmes $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est dans un état produit $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ on peut interpréter cela comme : $\mathsf{X}$ est dans l'état quantique $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ est dans l'état quantique $\vert \psi \rangle,$ et les états des deux systèmes n'ont rien à voir l'un avec l'autre.

Le fait que le vecteur produit tensoriel $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ soit bien un vecteur d'état quantique est cohérent avec le fait que la norme euclidienne est multiplicative par rapport aux produits tensoriels :

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Puisque $\vert \phi \rangle$ et $\vert \psi \rangle$ sont des vecteurs d'état quantique, on a $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ et $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ et donc $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ si bien que $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ est également un vecteur d'état quantique.

Cela se généralise à plus de deux systèmes. Si $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ sont des vecteurs d'état quantique des systèmes $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ alors $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ est un vecteur d'état quantique représentant un état produit du système joint $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ On sait que c'est un vecteur d'état quantique car

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

États intriqués

Tous les vecteurs d'état quantique de systèmes multiples ne sont pas des états produits. Par exemple, le vecteur d'état quantique

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

de deux qubits n'est pas un état produit. Pour le démontrer, on peut suivre exactement le même raisonnement que dans la section précédente pour un état probabiliste. C'est-à-dire que si $(1)$ était un état produit, il existerait des vecteurs d'état quantique $\vert\phi\rangle$ et $\vert\psi\rangle$ tels que

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Mais il faudrait alors nécessairement que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

ce qui implique que $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ ou $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (ou les deux). Cela contredit le fait que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

et

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

sont tous deux non nuls. Ainsi, le vecteur d'état quantique $(1)$ représente une corrélation entre deux systèmes, et on dit spécifiquement que les systèmes sont intriqués.

Remarque : la valeur spécifique $1/\sqrt{2}$ n'est pas importante pour ce raisonnement — tout ce qui compte, c'est que cette valeur soit non nulle. Ainsi, par exemple, l'état quantique

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

n'est pas non plus un état produit, par le même argument.

L'intrication est une caractéristique quintessentielle de l'information quantique qui sera discutée plus en détail dans une leçon ultérieure. L'intrication peut être complexe, notamment pour les types d'états quantiques bruités qui peuvent être décrits par des matrices densité (abordées dans le cours Formulation générale de l'information quantique, qui est le troisième cours de la série Comprendre l'information et le calcul quantiques). Pour les vecteurs d'état quantique, cependant, l'intrication est équivalente à la corrélation : tout vecteur d'état quantique qui n'est pas un état produit représente un état intriqué.

En revanche, le vecteur d'état quantique

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

est un exemple d'état produit.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Cet état n'est donc pas intriqué.

États de Bell

Nous allons maintenant examiner quelques exemples importants d'états quantiques à plusieurs qubits, en commençant par les états de Bell. Ce sont les quatre états à deux qubits suivants :

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Les états de Bell doivent leur nom à John Bell. Remarque : le même argument qui établit que $\vert\phi^+\rangle$ n'est pas un état produit montre qu'aucun des autres états de Bell n'est non plus un état produit : les quatre états de Bell représentent tous une intrication entre deux qubits.

L'ensemble des quatre états de Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

est connu sous le nom de base de Bell. Fidèle à son nom, c'est bien une base ; tout vecteur d'état quantique de deux qubits, ou même tout vecteur complexe ayant des entrées correspondant aux quatre états classiques de deux bits, peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des quatre états de Bell. Par exemple,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

États GHZ et W

Nous allons maintenant considérer deux exemples intéressants d'états de trois qubits. Le premier exemple est l'état GHZ (ainsi nommé en l'honneur de Daniel Greenberger, Michael Horne et Anton Zeilinger, qui ont étudié pour la première fois certaines de ses propriétés) :

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Le deuxième exemple est ce qu'on appelle l'état W :

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Aucun de ces états n'est un état produit, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas s'écrire comme un produit tensoriel de trois vecteurs d'état quantique à un qubit. Nous examinerons ces deux états plus tard lorsque nous aborderons les mesures partielles d'états quantiques de systèmes multiples.

Exemples supplémentaires

Les exemples d'états quantiques de systèmes multiples que nous avons vus jusqu'ici sont des états de deux ou trois qubits, mais on peut aussi considérer des états quantiques de systèmes multiples ayant différents ensembles d'états classiques.

Par exemple, voici un état quantique de trois systèmes, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ et $\mathsf{Z},$ où l'ensemble d'états classiques de $\mathsf{X}$ est l'alphabet binaire (donc $\mathsf{X}$ est un qubit) et l'ensemble d'états classiques de $\mathsf{Y}$ et $\mathsf{Z}$ est $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Et voici un exemple d'état quantique de trois systèmes, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ et $\mathsf{Z},$ qui partagent tous le même ensemble d'états classiques $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Les systèmes ayant l'ensemble d'états classiques $\{0,1,2\}$ sont souvent appelés trits ou (en supposant qu'ils peuvent être dans un état quantique) qutrits. Le terme qudit désigne un système ayant l'ensemble d'états classiques $\{0,\ldots,d-1\}$ pour un choix arbitraire de $d.$

Mesures d'états quantiques

Les mesures dans la base standard d'états quantiques de systèmes simples ont été abordées dans la leçon précédente : si un système ayant l'ensemble d'états classiques $\Sigma$ est dans un état quantique représenté par le vecteur $\vert \psi \rangle,$ et que ce système est mesuré (par rapport à une mesure dans la base standard), alors chaque état classique $a\in\Sigma$ apparaît avec probabilité $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Cela nous dit ce qui se passe lorsqu'on a un état quantique de systèmes multiples et qu'on choisit de mesurer l'ensemble du système composite, ce qui équivaut à mesurer tous les systèmes.

Pour l'exprimer précisément, supposons que $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sont des systèmes ayant respectivement les ensembles d'états classiques $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}.$ On peut alors considérer $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ collectivement comme un système unique dont l'ensemble d'états classiques est le produit cartésien $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Si un état quantique de ce système est représenté par le vecteur d'état quantique $\vert\psi\rangle,$ et que tous les systèmes sont mesurés, alors chaque résultat possible $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ apparaît avec probabilité $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Par exemple, si les systèmes $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont conjointement dans l'état quantique

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

alors mesurer les deux systèmes avec des mesures dans la base standard donne le résultat $(0,\heartsuit)$ avec probabilité $9/25$ et le résultat $(1,\spadesuit)$ avec probabilité $16/25.$

Mesures partielles

Considérons maintenant la situation où on a plusieurs systèmes dans un certain état quantique, et on mesure un sous-ensemble propre des systèmes. Comme précédemment, on va commencer avec deux systèmes $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ ayant respectivement les ensembles d'états classiques $\Sigma$ et $\Gamma.$

En général, un vecteur d'état quantique de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ prend la forme

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

où $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ est une collection de nombres complexes satisfaisant

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

ce qui est équivalent à $\vert \psi \rangle$ étant un vecteur unitaire.

On sait déjà, d'après la discussion ci-dessus, que si $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont tous deux mesurés, alors chaque résultat possible $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ apparaît avec probabilité

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Si on suppose à la place que seul le premier système $\mathsf{X}$ est mesuré, la probabilité pour chaque résultat $a\in\Sigma$ d'apparaître doit donc être égale à

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

C'est cohérent avec ce qu'on a déjà vu dans le cadre probabiliste, ainsi qu'avec notre compréhension actuelle de la physique : la probabilité pour chaque résultat d'apparaître lors de la mesure de $\mathsf{X}$ ne peut pas dépendre du fait que $\mathsf{Y}$ ait été mesuré ou non, car cela permettrait une communication plus rapide que la lumière.

Ayant obtenu un résultat particulier $a\in\Sigma$ d'une mesure dans la base standard de $\mathsf{X},$ on s'attend naturellement à ce que l'état quantique de $\mathsf{X}$ change pour devenir $\vert a\rangle,$ comme pour les systèmes simples. Mais que se passe-t-il pour l'état quantique de $\mathsf{Y}$ ?

Pour répondre à cette question, on peut d'abord exprimer le vecteur $\vert\psi\rangle$ comme

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

où

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

pour chaque $a\in\Sigma.$ Ici, on suit la même méthodologie que dans le cas probabiliste, en isolant les vecteurs de base standard du système mesuré. La probabilité que la mesure dans la base standard de $\mathsf{X}$ donne chaque résultat $a$ est la suivante :

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Et, à la suite de la mesure dans la base standard de $\mathsf{X}$ donnant le résultat $a,$ l'état quantique de la paire $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ensemble devient

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

C'est-à-dire que l'état « s'effondre » comme dans le cas d'un système simple, mais seulement dans la mesure nécessaire pour que l'état soit cohérent avec le résultat $a$ de la mesure de $\mathsf{X}.$

De façon informelle, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ représente la composante de $\vert \psi\rangle$ qui est cohérente avec un résultat $a$ de la mesure de $\mathsf{X}.$ On normalise ensuite ce vecteur — en le divisant par sa norme euclidienne, qui est égale à $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — pour obtenir un vecteur d'état quantique valide de norme euclidienne égale à $1.$ Cette étape de normalisation est analogue à ce qu'on a fait dans le cadre probabiliste lorsqu'on divisait les vecteurs par la somme de leurs entrées pour obtenir un vecteur de probabilité.

À titre d'exemple, considérons l'état de deux qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ du début de la section :

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Pour comprendre ce qui se passe lorsque le premier système $\mathsf{X}$ est mesuré, on commence par écrire

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

On voit maintenant, d'après la description ci-dessus, que la probabilité que la mesure donne le résultat $0$ est

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

auquel cas l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

et la probabilité que la mesure donne le résultat $1$ est

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

auquel cas l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

La même technique, utilisée de manière symétrique, décrit ce qui se passe si c'est le deuxième système $\mathsf{Y}$ qui est mesuré plutôt que le premier. Cette fois, on réécrit le vecteur $\vert \psi \rangle$ comme

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

La probabilité que la mesure de $\mathsf{Y}$ donne le résultat $0$ est

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

auquel cas l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

et la probabilité que le résultat de la mesure soit $1$ est

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

auquel cas l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Remarque sur les états quantiques réduits

L'exemple précédent montre une limitation de la description simplifiée de l'information quantique : elle ne nous offre pas de moyen de décrire l'état quantique réduit (ou marginal) d'un seul des deux systèmes (ou d'un sous-ensemble propre d'un nombre quelconque de systèmes) comme dans le cas probabiliste.

Plus précisément, pour un état probabiliste de deux systèmes $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ décrit par un vecteur de probabilité

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

on peut écrire l'état probabiliste réduit ou marginal de $\mathsf{X}$ seul comme

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Pour les vecteurs d'état quantique, il n'existe pas de façon analogue de procéder. En particulier, pour un vecteur d'état quantique

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

le vecteur

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

n'est pas en général un vecteur d'état quantique, et ne représente pas correctement le concept d'état réduit ou marginal.

Ce qu'on peut faire à la place, c'est recourir à la notion de matrice densité, abordée dans le cours Formulation générale de l'information quantique. Les matrices densité nous fournissent un moyen rigoureux de définir des états quantiques réduits, analogue au cadre probabiliste.

Mesures partielles pour trois systèmes ou plus

Les mesures partielles pour trois systèmes ou plus, où un sous-ensemble propre des systèmes est mesuré, peuvent se ramener au cas de deux systèmes en divisant les systèmes en deux groupes : ceux qui sont mesurés et ceux qui ne le sont pas. Voici un exemple précis qui illustre comment procéder. Il montre concrètement comment l'indice en bas sur les kets, indiquant les noms des systèmes qu'ils représentent, peut être utile — dans ce cas parce qu'il nous fournit un moyen simple de décrire les permutations des systèmes.

Pour cet exemple, on considère un état quantique d'un 5-uplet de systèmes $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ où ces cinq systèmes partagent tous le même ensemble d'états classiques $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

On va considérer la situation dans laquelle le premier et le troisième système sont mesurés, et les systèmes restants sont laissés tels quels.

Conceptuellement, il n'y a pas de différence fondamentale entre cette situation et celle où l'un de deux systèmes est mesuré. Malheureusement, étant donné que les systèmes mesurés sont intercalés avec les systèmes non mesurés, nous rencontrons un obstacle pour écrire les expressions nécessaires à ces calculs.

Une façon de procéder, comme suggéré ci-dessus, est d'indicer les kets pour indiquer à quels systèmes ils se réfèrent. Cela nous permet de suivre les systèmes lorsqu'on permute l'ordre des kets, ce qui simplifie les calculs.

D'abord, le vecteur d'état quantique ci-dessus peut également s'écrire comme

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Rien n'a changé, sauf que chaque ket porte maintenant un indice indiquant à quel système il correspond. Ici, on a utilisé les indices $0,\ldots,4,$ mais les noms des systèmes eux-mêmes pourraient aussi être utilisés (dans une situation où on dispose de noms de systèmes tels que $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y}$ et $\mathsf{Z},$ par exemple).

On peut maintenant réordonner les kets et regrouper les termes comme suit :

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Les produits tensoriels sont toujours implicites, même lorsque des parenthèses sont utilisées, comme dans cet exemple.

Pour être clair sur la permutation des kets : les produits tensoriels ne sont pas commutatifs : si $\vert \phi\rangle$ et $\vert \pi \rangle$ sont des vecteurs, alors, en général, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ est différent de $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ et de même pour les produits tensoriels de trois vecteurs ou plus. Par exemple, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ est un vecteur différent de $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Le réordonnement des kets que nous venons de faire ne doit pas être interprété comme suggérant le contraire.

En réalité, à des fins de calcul, on décide simplement qu'il est plus pratique de regrouper les systèmes comme $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ plutôt que $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Les indices sur les kets permettent de garder tout cela en ordre, et on est libre de revenir à l'ordre original plus tard si on le souhaite.

On voit maintenant que, si les systèmes $\mathsf{X}_4$ et $\mathsf{X}_2$ sont mesurés, les probabilités (non nulles) des différents résultats sont les suivantes :

• Le résultat de mesure $(\heartsuit,\diamondsuit)$ se produit avec probabilité

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Le résultat de mesure $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ se produit avec probabilité

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Le résultat de mesure $(\spadesuit,\clubsuit)$ se produit avec probabilité

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Si le résultat de la mesure est $(\heartsuit,\diamondsuit),$ par exemple, l'état résultant de nos cinq systèmes devient

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Ici, pour la réponse finale, on est revenu à l'ordre original des systèmes, juste pour illustrer qu'on peut le faire. Pour les autres résultats de mesure possibles, l'état peut être déterminé de manière similaire.

Enfin, voici les deux exemples promis précédemment, en commençant par l'état GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Si seul le premier système est mesuré, on obtient le résultat $0$ avec probabilité $1/2,$ auquel cas l'état des trois qubits devient $\vert 000\rangle$ ; et on obtient aussi le résultat $1$ avec probabilité $1/2,$ auquel cas l'état des trois qubits devient $\vert 111\rangle.$

Pour un état W, en revanche, en supposant à nouveau que seul le premier système est mesuré, on commence par écrire cet état comme ceci :

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

La probabilité qu'une mesure du premier qubit donne le résultat 0 est donc égale à

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

et conditionnellement à ce résultat de mesure, l'état quantique des trois qubits devient

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

La probabilité que le résultat de la mesure soit 1 est $1/3,$ auquel cas l'état des trois qubits devient $\vert 100\rangle.$

L'état W est symétrique, dans le sens où il ne change pas si on permute les qubits. On obtient donc une description similaire pour la mesure du deuxième ou du troisième qubit plutôt que du premier.

Opérations unitaires

En principe, toute matrice unitaire dont les lignes et les colonnes correspondent aux états classiques d'un système représente une opération quantique valide sur ce système. Cela reste bien sûr vrai pour les systèmes composites, dont les ensembles d'états classiques se trouvent être des produits cartésiens des ensembles d'états classiques des systèmes individuels.

En se concentrant sur deux systèmes, si $\mathsf{X}$ est un système ayant l'ensemble d'états classiques $\Sigma,$ et $\mathsf{Y}$ est un système ayant l'ensemble d'états classiques $\Gamma,$ alors l'ensemble d'états classiques du système joint $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est $\Sigma\times\Gamma.$ Les opérations quantiques sur ce système joint sont donc représentées par des matrices unitaires dont les lignes et les colonnes sont mises en correspondance avec l'ensemble $\Sigma\times\Gamma.$ L'ordre des lignes et des colonnes de ces matrices est le même que celui utilisé pour les vecteurs d'état quantique du système $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Par exemple, supposons que $\Sigma = \{1,2,3\}$ et $\Gamma = \{0,1\},$ et rappelons que la convention standard pour ordonner les éléments du produit cartésien $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ est la suivante :

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Voici un exemple de matrice unitaire représentant une opération sur $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Cette matrice unitaire n'est pas particulière, c'est juste un exemple. Pour vérifier que $U$ est unitaire, il suffit de calculer et de vérifier que $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ par exemple. On peut aussi vérifier que les lignes (ou les colonnes) sont orthonormales, ce qui est simplifié dans ce cas par la forme particulière de la matrice $U.$

L'action de $U$ sur le vecteur de base standard $\vert 1, 1 \rangle,$ par exemple, est

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

ce qu'on peut voir en examinant la deuxième colonne de $U,$ compte tenu de notre ordre de l'ensemble $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Comme pour toute matrice, il est possible d'exprimer $U$ en notation de Dirac, ce qui nécessiterait 20 termes pour les 20 entrées non nulles de $U.$ Si on écrivait tous ces termes, cependant, plutôt qu'une matrice $6\times 6,$ ce serait encombrant et les schémas évidents dans l'expression matricielle ne seraient probablement pas aussi clairs. En bref, la notation de Dirac n'est pas toujours le meilleur choix.

Les opérations unitaires sur trois systèmes ou plus fonctionnent de manière similaire, avec des matrices unitaires dont les lignes et les colonnes correspondent au produit cartésien des ensembles d'états classiques des systèmes. On a déjà vu un exemple dans cette leçon : l'opération à trois qubits

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

où les nombres dans les bras et les kets désignent leurs encodages binaires sur $3$ bits. En plus d'être une opération déterministe, c'est aussi une opération unitaire. Les opérations qui sont à la fois déterministes et unitaires s'appellent des opérations réversibles. La transposée conjuguée de cette matrice peut s'écrire comme ceci :

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Cela représente l'inverse, ou en termes mathématiques l'inverse, de l'opération originale — ce qu'on attend de la transposée conjuguée d'une matrice unitaire. On verra d'autres exemples d'opérations unitaires sur des systèmes multiples à mesure que la leçon avance.

Opérations unitaires effectuées indépendamment sur des systèmes individuels

Lorsque des opérations unitaires sont effectuées indépendamment sur une collection de systèmes individuels, l'action combinée de ces opérations indépendantes est décrite par le produit tensoriel des matrices unitaires qui les représentent. C'est-à-dire que si $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sont des systèmes quantiques, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ sont des matrices unitaires représentant des opérations sur ces systèmes, et que les opérations sont effectuées indépendamment sur les systèmes, l'action combinée sur $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ est représentée par la matrice $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ On retrouve une fois de plus que les cadres probabiliste et quantique sont analogues à cet égard.

On s'attendrait naturellement, en lisant le paragraphe précédent, à ce que le produit tensoriel de n'importe quelle collection de matrices unitaires soit unitaire. C'est effectivement vrai, et on peut le vérifier comme suit.

Remarquons d'abord que l'opération de transposée conjuguée satisfait

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

pour tout choix de matrices $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ On peut le vérifier en revenant à la définition du produit tensoriel et de la transposée conjuguée, et en vérifiant que chaque entrée des deux membres de l'équation concorde. Cela signifie que

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Puisque le produit tensoriel de matrices est multiplicatif, on trouve que

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Ici, on a noté $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ les matrices représentant l'opération identité sur les systèmes $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ c'est-à-dire que ce sont des matrices identité dont les dimensions concordent avec le nombre d'états classiques de $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Enfin, le produit tensoriel $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ est égal à la matrice identité dont le nombre de lignes et de colonnes concorde avec le produit du nombre de lignes et de colonnes des matrices $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Cette matrice identité plus grande représente l'opération identité sur le système joint $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

En résumé, on a la suite d'égalités suivante :

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

On conclut donc que $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ est unitaire.

Une situation importante qui survient souvent est celle où une opération unitaire est appliquée à un seul système — ou à un sous-ensemble propre de systèmes — au sein d'un système joint plus grand. Par exemple, supposons que $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des systèmes qu'on peut considérer ensemble comme formant un système composite $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ et qu'on effectue une opération uniquement sur le système $\mathsf{X}.$ Pour être précis, supposons que $U$ est une matrice unitaire représentant une opération sur $\mathsf{X},$ de sorte que ses lignes et colonnes aient été mises en correspondance avec les états classiques de $\mathsf{X}.$

Dire qu'on effectue l'opération représentée par $U$ uniquement sur le système $\mathsf{X}$ implique qu'on ne fait rien à $\mathsf{Y},$ ce qui signifie qu'on effectue indépendamment $U$ sur $\mathsf{X}$ et l'opération identité sur $\mathsf{Y}.$ C'est-à-dire que « ne rien faire » à $\mathsf{Y}$ est équivalent à effectuer l'opération identité sur $\mathsf{Y},$ représentée par la matrice identité $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Ici, l'indice $\mathsf{Y}$ indique que $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ désigne la matrice identité dont le nombre de lignes et de colonnes concorde avec l'ensemble d'états classiques de $\mathsf{Y}.$) L'opération sur $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ obtenue lorsqu'on effectue $U$ sur $\mathsf{X}$ et ne fait rien à $\mathsf{Y}$ est donc représentée par la matrice unitaire

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Par exemple, si $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des qubits, effectuer une opération de Hadamard sur $\mathsf{X}$ et ne rien faire à $\mathsf{Y}$ est équivalent à effectuer l'opération

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

sur le système joint $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Dans le même esprit, si une opération représentée par une matrice unitaire $U$ est appliquée à $\mathsf{Y}$ et que rien n'est fait à $\mathsf{X},$ l'opération résultante sur $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est représentée par la matrice unitaire

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Par exemple, si on considère à nouveau la situation où $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont tous deux des qubits et que $U$ est une opération de Hadamard, l'opération résultante sur $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est représentée par la matrice

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Toutes les opérations unitaires sur une collection de systèmes ne peuvent pas s'écrire comme un produit tensoriel d'opérations unitaires de ce type, tout comme tous les vecteurs d'état quantique de ces systèmes ne sont pas des états produits. Par exemple, ni l'opération d'échange ni l'opération NOT contrôlé sur deux qubits, décrites ci-dessous, ne peuvent s'exprimer comme un produit tensoriel d'opérations unitaires.

L'opération d'échange

Pour conclure la leçon, examinons deux classes d'exemples d'opérations unitaires sur des systèmes multiples, en commençant par l'opération d'échange (swap).

Supposons que $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des systèmes qui partagent le même ensemble d'états classiques $\Sigma.$ L'opération swap sur la paire $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est l'opération qui échange le contenu des deux systèmes, mais laisse par ailleurs les systèmes tels quels — de sorte que $\mathsf{X}$ reste à gauche et $\mathsf{Y}$ reste à droite. On notera cette opération $\operatorname{SWAP},$ et elle agit comme suit pour tout choix d'états classiques $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Une façon d'écrire la matrice associée à cette opération en notation de Dirac est la suivante :

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Il n'est peut-être pas immédiatement évident que cette matrice représente $\operatorname{SWAP},$ mais on peut vérifier qu'elle satisfait la condition $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ pour tout choix d'états classiques $a,b\in\Sigma.$ Comme exemple simple, lorsque $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des qubits, on trouve que

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Opérations unitaires contrôlées

Supposons maintenant que $\mathsf{Q}$ est un qubit et $\mathsf{R}$ est un système arbitraire, ayant l'ensemble d'états classiques qu'on souhaite. Pour toute opération unitaire $U$ agissant sur le système $\mathsf{R},$ une opération controlled-$U$ est une opération unitaire sur la paire $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ définie comme suit :

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Par exemple, si $\mathsf{R}$ est aussi un qubit, et qu'on considère l'opération de Pauli $X$ sur $\mathrm{R},$ alors une opération controlled-$X$ est donnée par

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

On a déjà rencontré cette opération dans le contexte de l'information classique et des opérations probabilistes plus tôt dans la leçon. Remplacer l'opération de Pauli $X$ sur $\mathsf{R}$ par une opération $Z$ donne cette opération :

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Si on prend à la place $\mathsf{R}$ comme étant deux qubits, et qu'on prend $U$ comme étant l'opération d'échange entre ces deux qubits, on obtient cette opération :

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Cette opération est aussi connue sous le nom d'opération de Fredkin, ou plus communément, de porte de Fredkin. Son action sur les vecteurs de base standard peut être décrite comme suit :

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Enfin, une opération NOT-NOT contrôlée-contrôlée, qu'on peut noter $CCX,$ est appelée opération de Toffoli ou porte de Toffoli. Sa représentation matricielle ressemble à ceci :

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

On peut également l'exprimer en notation de Dirac comme suit :

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$