Information quantique

Nous sommes maintenant prêts à passer à l'information quantique, où nous faisons un choix différent pour le type de vecteur qui représente un état — dans ce cas un état quantique — du système considéré. Comme dans la discussion précédente sur l'information classique, nous nous intéresserons aux systèmes ayant des ensembles d'états classiques finis et non vides, et nous utiliserons une grande partie de la même notation.

Vecteurs d'état quantique

Un état quantique d'un système est représenté par un vecteur colonne, similaire à un état probabiliste. Comme précédemment, les indices du vecteur étiquettent les états classiques du système. Les vecteurs représentant des états quantiques sont caractérisés par ces deux propriétés :

1. Les entrées d'un vecteur d'état quantique sont des nombres complexes.
2. La somme des valeurs absolues au carré des entrées d'un vecteur d'état quantique est $1.$

Ainsi, contrairement aux états probabilistes, les vecteurs représentant des états quantiques n'ont pas besoin d'avoir des entrées de nombres réels non négatifs, et c'est la somme des valeurs absolues au carré des entrées (par opposition à la somme des entrées) qui doit être égale à $1.$ Aussi simples que soient ces changements, ils engendrent les différences entre l'information quantique et classique ; tout avantage d'un ordinateur quantique, ou toute amélioration d'un protocole de communication quantique, découle en fin de compte de ces simples changements mathématiques.

La norme euclidienne d'un vecteur colonne

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

est notée et définie comme suit :

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

La condition que la somme des valeurs absolues au carré d'un vecteur d'état quantique soit égale à $1$ est donc équivalente à ce que ce vecteur ait une norme euclidienne égale à $1.$ C'est-à-dire que les vecteurs d'état quantique sont des vecteurs unitaires par rapport à la norme euclidienne.

Exemples d'états de qubit

Le terme qubit désigne un système quantique dont l'ensemble d'états classiques est $\{0,1\}.$ C'est-à-dire qu'un qubit n'est en réalité qu'un bit — mais en utilisant ce nom, on reconnaît explicitement que ce bit peut se trouver dans un état quantique.

Voici des exemples d'états quantiques d'un qubit :

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{et}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

et

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Les deux premiers exemples, $\vert 0\rangle$ et $\vert 1\rangle,$ illustrent que les éléments de base standard sont des vecteurs d'état quantique valides : leurs entrées sont des nombres complexes, où la partie imaginaire de ces nombres est nulle, et le calcul de la somme des valeurs absolues au carré des entrées donne

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{et}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

comme requis. Comme dans le cadre classique, on associe les vecteurs d'état quantique $\vert 0\rangle$ et $\vert 1\rangle$ à un qubit se trouvant dans l'état classique $0$ et $1$ respectivement.

Pour les deux autres exemples, on a encore des entrées de nombres complexes, et le calcul de la somme des valeurs absolues au carré des entrées donne

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

et

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Ce sont donc des vecteurs d'état quantique valides. Note qu'ils sont des combinaisons linéaires des états de base standard $\vert 0 \rangle$ et $\vert 1 \rangle,$ et pour cette raison on dit souvent qu'ils sont des superpositions des états $0$ et $1.$ Dans le contexte des états quantiques, superposition et combinaison linéaire sont essentiellement synonymes.

L'exemple $(1)$ d'un vecteur d'état de qubit ci-dessus est très fréquemment rencontré — il s'appelle l'état plus et est noté comme suit :

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

On utilise également la notation

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

pour désigner un vecteur d'état quantique apparenté où la deuxième entrée est négative plutôt que positive, et on appelle cet état l'état moins.

Ce type de notation, où un symbole autre qu'un renvoyant à un état classique apparaît à l'intérieur d'un ket, est courant — on peut utiliser le nom que l'on souhaite à l'intérieur d'un ket pour nommer un vecteur. Il est très courant d'utiliser la notation $\vert\psi\rangle,$ ou un nom différent à la place de $\psi,$ pour désigner un vecteur arbitraire qui n'est pas nécessairement un vecteur de base standard.

Remarque : si on a un vecteur $\vert \psi \rangle$ dont les indices correspondent à un ensemble d'états classiques $\Sigma,$ et si $a\in\Sigma$ est un élément de cet ensemble d'états classiques, alors le produit matriciel $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ est égal à l'entrée du vecteur $\vert \psi \rangle$ dont l'indice correspond à $a.$ Comme on l'a fait lorsque $\vert \psi \rangle$ était un vecteur de base standard, on écrit $\langle a \vert \psi \rangle$ plutôt que $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ pour des raisons de lisibilité.

Par exemple, si $\Sigma = \{0,1\}$ et

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

alors

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{et}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

En général, lorsqu'on utilise la notation de Dirac pour des vecteurs arbitraires, la notation $\langle \psi \vert$ désigne le vecteur ligne obtenu en prenant le transposé-conjugué du vecteur colonne $\vert\psi\rangle,$ où le vecteur est transposé d'un vecteur colonne en vecteur ligne et chaque entrée est remplacée par son conjugué complexe. Par exemple, si $\vert\psi\rangle$ est le vecteur défini en $(2),$ alors

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

La raison pour laquelle on prend le conjugué complexe, en plus de la transposition, deviendra plus claire lorsque nous aborderons les produits scalaires.

États quantiques d'autres systèmes

On peut considérer des états quantiques de systèmes ayant des ensembles d'états classiques arbitraires. Par exemple, voici un vecteur d'état quantique pour un interrupteur de ventilateur électrique :

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

L'hypothèse ici est que les états classiques sont ordonnés comme suit : high, medium, low, off. Il n'y a peut-être aucune raison particulière de vouloir considérer un état quantique d'un interrupteur de ventilateur électrique, mais c'est possible en principe.

Voici un autre exemple, cette fois d'un chiffre décimal quantique dont les états classiques sont $0, 1, \ldots, 9 :$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Cet exemple illustre la commodité d'écrire des vecteurs d'état en utilisant la notation de Dirac. Pour cet exemple particulier, la représentation en vecteur colonne est simplement encombrante — mais s'il y avait significativement plus d'états classiques, elle deviendrait inutilisable. La notation de Dirac, en revanche, permet des descriptions précises de vecteurs grands et complexes sous une forme compacte.

La notation de Dirac permet également d'exprimer des vecteurs où différents aspects des vecteurs sont indéterminés, c'est-à-dire inconnus ou pas encore établis. Par exemple, pour un ensemble d'états classiques arbitraire $\Sigma,$ on peut considérer le vecteur d'état quantique

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

où la notation $\sqrt{|\Sigma|}$ désigne la norme euclidienne de $\Sigma,$ et $\vert\Sigma\vert$ dans ce cas est simplement le nombre d'éléments dans $\Sigma.$ En mots, c'est une superposition uniforme sur les états classiques dans $\Sigma.$

On rencontrera des expressions bien plus complexes de vecteurs d'état quantique dans les leçons ultérieures, où l'utilisation de vecteurs colonnes serait impraticable ou impossible. En fait, on abandonnera pour l'essentiel la représentation en vecteur colonne des vecteurs d'état, sauf pour les vecteurs ayant un petit nombre d'entrées (souvent dans le contexte d'exemples), où il peut être utile d'afficher et d'examiner les entrées explicitement.

Voici une autre raison pour laquelle exprimer les vecteurs d'état en utilisant la notation de Dirac est pratique : cela évite d'avoir à spécifier explicitement un ordre des états classiques (ou, de manière équivalente, la correspondance entre les états classiques et les indices du vecteur).

Par exemple, un vecteur d'état quantique pour un système ayant l'ensemble d'états classiques $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ tel que

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

est décrit sans ambiguïté par cette expression, et il n'est vraiment pas nécessaire de choisir ou de spécifier un ordre de cet ensemble d'états classiques pour donner un sens à l'expression. Dans ce cas, il n'est pas difficile de spécifier un ordre des enseignes de cartes standard — par exemple, on pourrait choisir de les ordonner comme ceci : $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Si on choisit cet ordre particulier, le vecteur d'état quantique ci-dessus serait représenté par le vecteur colonne

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

En général, cependant, il est pratique de pouvoir simplement ignorer la question de comment les ensembles d'états classiques sont ordonnés.

Mesure des états quantiques

Examinons maintenant ce qui se passe lorsqu'un état quantique est mesuré, en nous concentrant sur un type simple de mesure connu sous le nom de mesure dans la base standard. (Il existe des notions plus générales de mesure dont nous parlerons plus tard.)

Comme dans le cadre probabiliste, lorsqu'un système dans un état quantique est mesuré, l'observateur hypothétique effectuant la mesure ne verra pas un vecteur d'état quantique, mais plutôt un état classique. En ce sens, les mesures agissent comme une interface entre l'information quantique et classique, à travers laquelle l'information classique est extraite des états quantiques.

La règle est simple : si un état quantique est mesuré, chaque état classique du système apparaît avec une probabilité égale à la valeur absolue au carré de l'entrée dans le vecteur d'état quantique correspondant à cet état classique. C'est ce qu'on appelle la règle de Born en mécanique quantique. Remarque : cette règle est cohérente avec l'exigence que les valeurs absolues au carré des entrées d'un vecteur d'état quantique somment à $1,$ car elle implique que les probabilités des différents résultats de mesure d'état classique somment à $1.$

Par exemple, mesurer l'état plus

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

donne les deux résultats possibles, $0$ et $1,$ avec les probabilités suivantes.

$$\operatorname{Pr}(\text{le résultat est 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{le résultat est 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Fait intéressant, mesurer l'état moins

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

donne exactement les mêmes probabilités pour les deux résultats.

$$\operatorname{Pr}(\text{le résultat est 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{le résultat est 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Cela suggère que, du point de vue des mesures dans la base standard, les états plus et moins ne sont pas différents. Pourquoi, alors, voudrions-nous faire une distinction entre eux ? La réponse est que ces deux états se comportent différemment lorsque des opérations leur sont appliquées, comme nous le verrons dans la prochaine sous-section ci-dessous.

Bien sûr, mesurer l'état quantique $\vert 0\rangle$ donne l'état classique $0$ avec certitude, et de même mesurer l'état quantique $\vert 1\rangle$ donne l'état classique $1$ avec certitude. Cela est cohérent avec l'identification de ces états quantiques avec le système étant dans l'état classique correspondant, comme cela avait été suggéré précédemment.

Comme dernier exemple, mesurer l'état

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

fait apparaître les deux résultats possibles avec les probabilités suivantes :

$$\operatorname{Pr}(\text{le résultat est 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

et

$$\operatorname{Pr}(\text{le résultat est 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Opérations unitaires

Jusqu'à présent, il n'est peut-être pas évident pourquoi l'information quantique est fondamentalement différente de l'information classique. C'est-à-dire que lorsqu'un état quantique est mesuré, la probabilité d'obtenir chaque état classique est donnée par la valeur absolue au carré de l'entrée du vecteur correspondant — alors pourquoi ne pas simplement enregistrer ces probabilités dans un vecteur de probabilité ?

La réponse, du moins en partie, est que l'ensemble des opérations autorisées pouvant être effectuées sur un état quantique est différent de ce qu'il est pour l'information classique. Comme dans le cadre probabiliste, les opérations sur les états quantiques sont des applications linéaires — mais plutôt qu'être représentées par des matrices stochastiques, comme dans le cas classique, les opérations sur les vecteurs d'état quantique sont représentées par des matrices unitaires.

Une matrice carrée $U$ ayant des entrées de nombres complexes est unitaire si elle satisfait les équations

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Ici, $\mathbb{I}$ est la matrice identité, et $U^{\dagger}$ est le transposé-conjugué de $U,$ c'est-à-dire la matrice obtenue en transposant $U$ et en prenant le conjugué complexe de chaque entrée.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Si l'une des deux égalités numérotées $(3)$ ci-dessus est vraie, alors l'autre doit l'être aussi. Les deux égalités sont équivalentes au fait que $U^{\dagger}$ est l'inverse de $U :$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Avertissement : si $M$ n'est pas une matrice carrée, il se peut que $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ et $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ par exemple. L'équivalence des deux égalités dans la première équation ci-dessus n'est vraie que pour les matrices carrées.)

La condition que $U$ est unitaire est équivalente à la condition que la multiplication par $U$ ne modifie pas la norme euclidienne d'un vecteur quelconque. C'est-à-dire qu'une matrice $n\times n$ $U$ est unitaire si et seulement si $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ pour tout vecteur colonne $\vert \psi \rangle$ de dimension $n$ avec des entrées de nombres complexes. Ainsi, comme l'ensemble de tous les vecteurs d'état quantique est le même que l'ensemble des vecteurs ayant une norme euclidienne égale à $1,$ multiplier une matrice unitaire par un vecteur d'état quantique donne un autre vecteur d'état quantique.

En effet, les matrices unitaires sont exactement l'ensemble des applications linéaires qui transforment toujours les vecteurs d'état quantique en d'autres vecteurs d'état quantique. Remarque : cela ressemble au cas probabiliste classique où les opérations sont associées à des matrices stochastiques, qui sont celles qui transforment toujours les vecteurs de probabilité en vecteurs de probabilité.

Exemples d'opérations unitaires sur des qubits

La liste suivante décrit certaines opérations unitaires couramment rencontrées sur des qubits.

1. Opérations de Pauli. Les quatre matrices de Pauli sont les suivantes :

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Une notation alternative courante est $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ et $Z = \sigma_z$ (mais sois conscient que les lettres $X,$ $Y,$ et $Z$ sont aussi couramment utilisées à d'autres fins). L'opération $X$ est aussi appelée inversion de bit ou opération NOT car elle induit cette action sur les bits :

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{et} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   L'opération $Z$ est aussi appelée inversion de phase, et a cette action :

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{et} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Opération de Hadamard. L'opération de Hadamard est décrite par cette matrice :

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Opérations de phase. Une opération de phase est une opération décrite par la matrice

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   pour tout choix de nombre réel $\theta.$ Les opérations

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   sont des exemples particulièrement importants. D'autres exemples incluent $\mathbb{I} = P_0$ et $Z = P_{\pi}.$

Toutes les matrices définies ci-dessus sont unitaires, et représentent donc des opérations quantiques sur un seul qubit. Par exemple, voici un calcul qui vérifie que $H$ est unitaire :

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Et voici l'action de l'opération de Hadamard sur quelques vecteurs d'état de qubit couramment rencontrés.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

De façon plus concise, on obtient ces quatre équations.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Il vaut la peine de s'arrêter pour réfléchir au fait que $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ et $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ à la lumière de la question soulevée dans la section précédente concernant la distinction entre les états $\vert {+} \rangle$ et $\vert {-} \rangle.$

Imagine une situation où un qubit est préparé dans l'un des deux états quantiques $\vert {+} \rangle$ et $\vert {-} \rangle,$ mais où on ne sait pas lequel c'est. Mesurer l'un ou l'autre état produit la même distribution de sortie que l'autre, comme on l'a déjà observé : $0$ et $1$ apparaissent tous les deux avec une probabilité égale $1/2,$ ce qui ne fournit aucune information sur lequel des deux états a été préparé.

Cependant, si on applique d'abord une opération de Hadamard puis on mesure, on obtient le résultat $0$ avec certitude si l'état d'origine était $\vert {+} \rangle,$ et on obtient le résultat $1,$ encore avec certitude, si l'état d'origine était $\vert {-} \rangle.$ Les états quantiques $\vert {+} \rangle$ et $\vert {-} \rangle$ peuvent donc être discriminés parfaitement. Cela révèle que les changements de signe, ou plus généralement les changements des phases (aussi traditionnellement appelées arguments) des entrées de nombres complexes d'un vecteur d'état quantique, peuvent modifier significativement cet état.

Voici un autre exemple, montrant comment une opération de Hadamard agit sur un vecteur d'état mentionné précédemment.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Ensuite, considérons l'action d'une opération $T$ sur un état plus.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Remarque : on ne s'est pas donné la peine de convertir en formes équivalentes matrice/vecteur, et on a plutôt utilisé la linéarité de la multiplication matricielle avec les formules

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{et}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

De la même façon, on peut calculer le résultat d'appliquer une opération de Hadamard au vecteur d'état quantique tout juste obtenu :

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Les deux approches — l'une où on convertit explicitement en représentations matricielles et l'autre où on utilise la linéarité et on substitue les actions d'une opération sur les états de base standard — sont équivalentes. On peut utiliser celle qui est la plus pratique dans le cas considéré.

Compositions d'opérations unitaires sur des qubits

Les compositions d'opérations unitaires sont représentées par la multiplication matricielle, tout comme dans le cadre probabiliste.

Par exemple, supposons qu'on applique d'abord une opération de Hadamard, suivie d'une opération $S$, suivie d'une autre opération de Hadamard. L'opération résultante, que nous appellerons $R$ pour les besoins de cet exemple, est la suivante :

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Cette opération unitaire $R$ est un exemple intéressant. En appliquant cette opération deux fois, ce qui est équivalent à élever sa représentation matricielle au carré, on obtient une opération NOT :

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

C'est-à-dire que $R$ est une opération racine carrée du NOT. Un tel comportement, où la même opération est appliquée deux fois pour produire une opération NOT, n'est pas possible pour une opération classique sur un seul bit.

Opérations unitaires sur des systèmes plus grands

Dans les leçons suivantes, on verra de nombreux exemples d'opérations unitaires sur des systèmes ayant plus de deux états classiques. Un exemple d'une opération unitaire sur un système ayant trois états classiques est donné par la matrice suivante.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

En supposant que les états classiques du système sont $0,$ $1,$ et $2,$ on peut décrire cette opération comme une addition modulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{et}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

La matrice $A$ est un exemple de matrice de permutation, qui est une matrice dans laquelle chaque ligne et chaque colonne contient exactement un $1.$ De telles matrices ne font que réarranger, ou permuter, les entrées des vecteurs sur lesquels elles agissent. La matrice identité est peut-être l'exemple le plus simple d'une matrice de permutation, et un autre exemple est l'opération NOT sur un bit ou un qubit. Toute matrice de permutation, en toute dimension entière positive, est unitaire. Ce sont les seuls exemples de matrices qui représentent à la fois des opérations classiques et quantiques : une matrice est à la fois stochastique et unitaire si et seulement si c'est une matrice de permutation.

Un autre exemple de matrice unitaire, cette fois une matrice $4\times 4$, est celle-ci :

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Cette matrice décrit une opération connue sous le nom de transformée de Fourier quantique, spécifiquement dans le cas $4\times 4.$ La transformée de Fourier quantique peut être définie plus généralement, pour toute dimension entière positive $n,$ et joue un rôle clé dans les algorithmes quantiques.