Les bases de la mécanique quantique

Introduction

Dans la vidéo suivante, Olivia Lanes te guide à travers le contenu de cette leçon. Tu peux aussi ouvrir la vidéo YouTube de cette leçon dans une fenêtre séparée.

Dans la leçon précédente, nous avons appris à produire un état intriqué de deux qubits, connu sous le nom d'« état de Bell ». Lorsque nous avons mesuré l'état, nous avons constaté que les mesures des deux qubits étaient corrélées : quand l'un était mesuré à 0, l'autre l'était aussi à 0, et quand l'un était à 1, l'autre était également mesuré à 1. Nous avons vu que c'est une caractéristique de l'intrication quantique. Aujourd'hui, nous allons approfondir cet état et ce qu'il révèle sur la physique quantique fondamentale à l'informatique quantique.

L'état de Bell

Beaucoup des phénomènes quantiques qui font que les ordinateurs quantiques se comportent différemment des ordinateurs classiques sont déjà présents dans le déceptivement simple état de Bell que nous avons produit dans la leçon précédente. Reprenons ce circuit de l'état de Bell :

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

L'image ci-dessus représente le circuit quantique pour créer l'état de Bell $\vert\Phi^+\rangle$. Les deux lignes horizontales noires représentent nos deux qubits, et les boîtes et autres symboles sur ces lignes représentent des gates ou des opérations effectuées sur les qubits correspondants. La double ligne grise est un bus d'information classique qui nous permet de stocker l'information classique obtenue en mesurant les deux qubits. Nous allons plonger dans les détails de ce circuit et de l'état de Bell résultant afin de comprendre les bases de l'informatique quantique.

Les mathématiques de l'informatique quantique

Représentation des états quantiques

Tout d'abord, nous avons besoin d'un langage commun pour discuter des états quantiques et des circuits. Il existe plusieurs façons de représenter les états quantiques. La première est la notation de Dirac. En notation de Dirac, l'état ressemble à ceci :

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Ici, l'état est écrit à l'intérieur de crochets angulaires et de barres verticales. Les deux termes représentent chacun les deux résultats de mesure possibles de l'état. Ainsi, lorsque nous mesurons cet état, nous trouverons soit que les deux qubits sont dans l'état 0, soit que les deux sont dans l'état 1. La constante $\frac{1}{\sqrt{2}}$ est appelée « constante de normalisation ». Elle est là pour garantir que la somme des carrés de chacun des coefficients de l'état est égale à $1$. Nous verrons pourquoi c'est le cas plus tard, dans la section sur les mesures.

La deuxième façon de représenter un état est dans le langage standard de l'algèbre linéaire : comme un vecteur, où chaque entrée du vecteur représente un résultat de mesure possible différent. Dans cette notation, notre état de Bell s'écrirait ainsi :

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Par convention, les entrées du vecteur sont ordonnées comme suit :

• La première entrée correspond à l'état à deux qubits $\vert00\rangle$
• La deuxième à $\vert01\rangle$
• La troisième à $\vert10\rangle$
• La quatrième à $\vert11\rangle$

Comme attendu, dans le vecteur de l'état de Bell $\vert\Phi^+\rangle$, les première et quatrième entrées sont non nulles, tandis que les deuxième et troisième entrées sont nulles. La constante de normalisation $1/\sqrt{2}$ garantit que la longueur du vecteur est $1$.

Une note sur l'ordre des qubits

Qiskit utilise l'ordre little endian. Cela signifie que le qubit le plus à droite est considéré comme le premier (ou le moins significatif), et le qubit le plus à gauche est le plus significatif. Ainsi, lorsque nous écrivons un état comme $\vert01\rangle$ :

• le bit le plus à droite correspond au qubit $0$, et est dans l'état $\vert1\rangle$.
• le bit le plus à gauche correspond au qubit $1$, et est dans l'état $\vert0\rangle$.

Représentation des gates

Tout comme les états peuvent être représentés par des vecteurs, les gates peuvent être représentées par des matrices. Une gate agit sur un état en transformant son vecteur en un nouveau vecteur.

Chaque gate correspond à une matrice spécifique qui détermine comment l'état sera transformé. Nous appliquons cette transformation en multipliant la matrice de la gate et le vecteur d'état original, avec la matrice de la gate à gauche du vecteur d'état, comme ceci :

$$U |\psi\rangle$$

où $U$ représente la matrice de la gate et $|\psi\rangle$ représente le vecteur d'état.

Prenons la gate de Hadamard comme exemple. La gate de Hadamard est une gate à un seul qubit (la boîte rouge étiquetée « H » dans le schéma du circuit ci-dessus) qui transforme l'état $\vert0\rangle$ en $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ et l'état $\vert1\rangle$ en $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. En notation matricielle, la gate de Hadamard ressemble à ceci :

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Vérifie ta compréhension

Utilise la multiplication matricielle pour montrer que la matrice de Hadamard transforme les états comme prévu. (Si nécessaire, tu peux apprendre à faire la multiplication matricielle.)

Réponse

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Il y a quelques points à garder à l'esprit concernant les matrices de gate :

1. Elles sont toujours des matrices carrées $N \times N$, où $N$ est aussi la dimension du vecteur d'état auquel elles s'appliquent. Par exemple, lorsqu'on n'a qu'un seul qubit, le vecteur d'état est bidimensionnel, représentant les deux états possibles 0 et 1 du qubit. Dans ce cas, les dimensions de la matrice de gate appliquée à ce système seraient $2\times 2$.
2. Les gates quantiques sont réversibles. En d'autres termes, tu peux trouver une autre matrice qui est l'inverse de la gate, qui annule l'action de la gate et retransforme les qubits à leur état original.
3. Les gates quantiques préservent également la longueur des vecteurs qu'elles transforment. Les vecteurs d'état quantiques ont toujours une longueur de $1$ (garantie par les constantes de normalisation dont nous avons parlé précédemment). Les gates ne les allongent ni ne les raccourcissent, mais les font simplement tourner.

Ce sont toutes des propriétés des matrices unitaires. Si tu es curieux d'en savoir plus sur les propriétés mathématiques des matrices unitaires, tu peux en lire davantage dans la leçon de John Watrous sur les systèmes multiples dans le cours Basics of Quantum Information.

Le fonctionnement des mesures

Lorsque nous mesurons un état quantique, le résultat est toujours l'un des résultats possibles (pour un seul qubit, soit 0 soit 1). Quel résultat nous obtenons est aléatoire, mais l'état quantique nous indique les probabilités de chaque résultat.

Les entrées dans le vecteur d'état déterminent ces probabilités. Pour obtenir la probabilité d'un résultat particulier, nous prenons le carré de l'entrée correspondant à ce résultat. Par exemple, si un qubit est dans l'état :

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

la première entrée (correspondant à 0) est $1/\sqrt{2}$, et la deuxième entrée (correspondant à 1) est aussi $1/\sqrt{2}$. En mettant ces nombres au carré, on obtient

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

ce qui signifie qu'il y a 50% de chances de mesurer 0 et 50% de chances de mesurer 1.

Rappelle-toi que la somme de toutes les entrées au carré s'ajoute toujours à 1. Cela a du sens car lorsque nous mesurons, nous sommes certains d'obtenir un résultat, donc les probabilités de tous les résultats possibles doivent totaliser 100%.

Après la mesure, le qubit s'effondre vers le résultat observé, et toute superposition précédente est perdue. Le qubit se comporte maintenant comme un bit classique. Les mesures sont fondamentalement différentes des gates quantiques. Tandis que les gates changent les états quantiques de manière déterministe et réversible, la mesure est intrinsèquement aléatoire et irréversible.

La mesure dans différentes bases

Par défaut, lorsque tu mesures un qubit dans un circuit quantique, tu mesures l'état du qubit uniquement le long d'un seul axe. C'est ce qu'on appelle la base computationnelle, ou base $Z$, définie par les états $\vert 0\rangle$ et $\vert 1\rangle$. Tu peux imaginer l'état $\vert 0\rangle$ comme un vecteur pointant droit vers le haut, et l'état $\vert 1\rangle$ comme un vecteur pointant droit vers le bas. Ainsi, une mesure dans la base $Z$ répond à la question : « L'état du qubit pointe-t-il vers le haut ou vers le bas ? »

Mais ce n'est pas le seul type de question que nous pouvons poser à un qubit. Le vecteur d'état d'un qubit ne pointe pas seulement vers le haut ou vers le bas. Une superposition de $\vert 0\rangle$ et $\vert 1\rangle$ donnera un vecteur d'état pointant dans n'importe quelle direction dans l'espace tridimensionnel — la direction précise dépend des amplitudes relatives et des phases des deux parties de la superposition. Ainsi, tandis qu'une mesure standard dans la base $Z$ demande « haut ou bas ? », tu peux aussi demander « gauche ou droite ? » ou « avant ou arrière ? »

Ces questions correspondent à des mesures dans différentes bases. Chaque base a son propre ensemble de deux vecteurs de base, qui définissent les deux résultats de mesure possibles dans cette base (comme $\vert 0\rangle$ ou $\vert 1\rangle$ pour la base $Z$).

• Les résultats de mesure dans la base Z s'effondrent vers $\vert 0\rangle$ ou $\vert 1\rangle$
• Les résultats de mesure dans la base X s'effondrent vers $\vert +\rangle$ ou $\vert -\rangle$
• Les résultats de mesure dans la base Y s'effondrent vers $\vert i\rangle$ ou $\vert -i\rangle$

où

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

où $i=\sqrt{−1}$ est l'unité imaginaire. Nous voyons ici pour la première fois des superpositions avec une différence de phase entre les deux parties. La phase est généralement écrite sous la forme $e^{i\theta}$, où $\theta$ est l'angle de l'amplitude d'un état quantique dans le plan complexe — un plan bidimensionnel où l'axe horizontal représente les nombres réels et l'axe vertical représente les nombres imaginaires. Tu peux l'imaginer de façon plus intuitive comme le décalage d'une onde par rapport à une autre : leurs crêtes sont-elles alignées, ou l'une des ondes est-elle décalée de sorte que sa crête rencontre le creux de l'autre ?

Matrices de Pauli et observables

Il existe trois matrices, les soi-disant matrices de Pauli, qui se rapportent à ces trois différents choix de base $X$, $Y$, et $Z$ :

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Comment se rapportent-elles exactement aux bases de mesure ? À première vue, elles ressemblent à des matrices de gate ordinaires — et elles le sont. Chaque matrice de Pauli peut agir sur un qubit et modifier son état :

• Pauli-X bascule $|0\rangle$ et $|1\rangle$, comme une gate NOT classique.
• Pauli-Z laisse $|0\rangle$ inchangé mais multiplie $|1\rangle$ par $-1$, changeant la phase relative.
• Pauli-Y bascule le qubit et introduit une phase.

Mais les matrices de Pauli ont une deuxième interprétation tout aussi importante. En mécanique quantique, toute grandeur mesurable est appelée une observable, et les observables sont représentées par des matrices. Les matrices de Pauli correspondent à des mesures le long de trois axes différents, et leurs états propres correspondent aux deux résultats de mesure possibles le long de chaque axe. (Si tu n'es pas familier avec le terme état propre, c'est normal — ce sont simplement des vecteurs spéciaux associés à une matrice donnée.)

• $Z$ → mesure dans la base Z ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → mesure dans la base X ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → mesure dans la base Y ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

Cela explique pourquoi les matrices de Pauli semblent jouer un double rôle. Elles agissent à la fois sur les états (en tant que gates) et définissent les directions de mesure (en tant qu'observables). Les deux rôles proviennent des mêmes mathématiques sous-jacentes.

Alors, comment, en pratique, mesure-t-on dans la base X ou Y ? Par défaut, nos ordinateurs quantiques sont uniquement configurés pour mesurer dans la base Z. Tu dois donc changer de base en faisant tourner le vecteur d'état du qubit de sorte que l'information qui t'intéresse, X ou Y, pointe maintenant dans la direction Z. Ensuite, tu effectues simplement une mesure Z comme d'habitude.

Par exemple, mesurer dans la base X peut être fait en appliquant une gate de Hadamard, puis en mesurant dans la base Z. La gate de Hadamard fait tourner l'état de sorte que « l'information X » devient « l'information Z ». Après cela, une mesure normale fait le travail.

Tu verras davantage les matrices de Pauli dans la prochaine leçon, quand nous appliquerons nos nouvelles compétences en écriture de circuit quantique à un vrai problème de physique quantique.

Le circuit de l'état de Bell

Maintenant que nous avons un point de départ — nous savons que les états peuvent être représentés par des vecteurs, les gates peuvent être représentées par des matrices, et les mesures font « s'effondrer » un état — parcourons le circuit qui crée et mesure l'état de Bell ci-dessus.

Nous commençons avec l'état initial de deux qubits dans $|00\rangle$ :

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Créer la superposition

Le circuit commence par appliquer une gate de Hadamard au qubit 0. Comme nous l'avons vu dans la section précédente, la gate de Hadamard amène le qubit d'un état défini, soit $|0\rangle$ soit $|1\rangle$, vers une combinaison de ces deux états. Rappelle-toi que la gate de Hadamard est :

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Pour l'appliquer au premier qubit dans un système à deux qubits, nous utilisons une matrice 4x4 étendue qui applique $H$ au qubit 0 tout en laissant le qubit 1 inchangé. Imagine-le comme « appliquer $H$ au premier qubit et ne pas toucher le deuxième qubit » :

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Ensuite, nous multiplions cela par le vecteur d'état initial :

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Le qubit 0 est maintenant dans un état de superposition.

En savoir plus sur la superposition quantique

Une superposition quantique du type ci-dessus est souvent décrite comme le qubit étant dans les deux états en même temps. Cependant, lorsque nous mesurons cet état de superposition, le résultat est toujours $0$ ou $1$ — nous ne pouvons jamais observer directement la superposition elle-même. En fait, la phrase « le qubit est dans les deux états en même temps » peut être trompeuse. Une façon plus précise de la décrire est qu'une superposition est une description mathématique de l'état quantique qui nous permet de calculer les probabilités des différents résultats de mesure. Certaines personnes pensent que les superpositions sont physiquement réelles, mais c'est une interprétation philosophique qui ne peut pas être testée ; la mécanique quantique ne prédit que les probabilités des résultats de mesure.

Contrairement à une distribution de probabilités classique, une superposition quantique permet aussi aux différentes composantes d'interférer les unes avec les autres, comme des vagues qui se chevauchent et peuvent s'amplifier ou s'annuler mutuellement. C'est cette interférence qui permet aux algorithmes quantiques de produire des motifs de résultats de mesure qui seraient impossibles avec le hasard classique seul.

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Intrication des qubits

Ensuite, une gate CNOT (contrôlée-NOT) (représentée par le point bleu, la ligne verticale et le cercle avec le signe plus reliant les deux qubits) est appliquée. Cette gate intrigue les deux qubits ensemble. Après cette étape, l'état d'un qubit ne peut pas être décrit indépendamment de l'autre.

La gate CNOT bascule le qubit 1 (appelé le qubit cible) uniquement si le qubit 0 (appelé le qubit de contrôle) est dans l'état $\vert 1\rangle$. Sa matrice est :

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Applique-la à l'état de l'étape 1 :

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Les qubits sont maintenant intriqués : mesurer l'un détermine immédiatement l'autre.

En savoir plus sur l'intrication quantique

L'intrication, comme la superposition, est un phénomène quantique qui n'a pas d'analogue classique. Dans les systèmes classiques, deux bits corrélés pourraient avoir leurs valeurs liées, mais chaque bit a toujours une valeur définie — même si nous ne la connaissons pas. Par exemple, si deux pièces de monnaie sont collées ensemble de sorte qu'elles tombent toujours du même côté, le fait qu'une pièce soit face nous dit immédiatement que l'autre l'est aussi. Mais avant de regarder, chaque pièce est déjà dans un état défini.

Avec des qubits intriqués, la situation est fondamentalement différente. Avant la mesure, aucun des qubits n'a de valeur définie par lui-même. Seule la paire a un état bien défini. Mesurer un qubit affecte instantanément les probabilités de l'autre, quelle que soit la distance qui les sépare. C'est un effet purement quantique : il ne peut pas être expliqué par les statistiques classiques ou les informations cachées sur les qubits individuels.

Mesurer les états

Enfin, les deux qubits sont mesurés. Lorsque nous mesurons, l'état quantique s'effondre vers l'un des états classiquement autorisés :

• 00 avec probabilité $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 avec probabilité $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Cela reproduit les résultats de mesure corrélés que nous avons observés dans le circuit de la Leçon 1.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons fait un tour rapide des concepts de mécanique quantique et des outils mathématiques nécessaires pour exécuter des circuits quantiques de façon confiante et autonome sur un ordinateur quantique. Nous avons introduit comment les états quantiques sont représentés, comment les gates transforment ces états, comment la mesure fonctionne, et comment la superposition et l'intrication émergent naturellement de simples circuits.

Dans la Leçon 3, nous mettrons ces idées en pratique en parcourant le flux de travail complet pour résoudre un problème simplifié sur un ordinateur quantique et interpréter les résultats.

Objectif d'apprentissage

Rappelle-toi l'objectif d'apprentissage de la Leçon 1, où nous t'avions mis au défi de modifier le circuit pour créer l'état de Bell $\Psi^-$. Maintenant, en utilisant ce circuit, travaille à travers l'algèbre matricielle et confirme que ton circuit produit l'état souhaité. (Indice : tu devras déterminer la forme matricielle d'une gate NOT ou X.)