Opérations de Pauli et observables

Les matrices de Pauli jouent un rôle central dans le formalisme des stabilisateurs. Nous commencerons la leçon par une discussion des matrices de Pauli, y compris quelques-unes de leurs propriétés algébriques fondamentales, et nous verrons également comment les matrices de Pauli (et leurs produits tensoriels) peuvent décrire des mesures.

Bases des opérations de Pauli

Voici les matrices de Pauli, y compris la matrice identité $2\times 2$ et les trois matrices de Pauli non identitaires.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Propriétés des matrices de Pauli

Les quatre matrices de Pauli sont à la fois unitaires et hermitiennes. Nous avons utilisé les noms $\sigma_x,$ $\sigma_y$ et $\sigma_z$ pour désigner les matrices de Pauli non identitaires précédemment dans la série, mais il est conventionnel d'utiliser plutôt les lettres majuscules $X,$ $Y$ et $Z$ dans le contexte de la correction d'erreurs. Cette convention a été suivie dans la leçon précédente, et nous la poursuivrons dans les leçons restantes.

Les différentes matrices de Pauli non identitaires anti-commutent entre elles.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Ces relations d'anti-commutation sont simples et faciles à vérifier en effectuant les multiplications, mais elles sont d'une importance capitale, dans le formalisme des stabilisateurs et ailleurs. Comme nous le verrons, les signes moins qui émergent lorsque l'ordre entre deux matrices de Pauli non identitaires différentes est inversé dans un produit matriciel correspondent précisément à la détection des erreurs dans le formalisme des stabilisateurs.

Nous avons également les règles de multiplication suivantes.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Autrement dit, chaque matrice de Pauli est son propre inverse (ce qui est toujours vrai pour toute matrice qui est à la fois unitaire et hermitienne), et le produit de deux matrices de Pauli non identitaires différentes est toujours $\pm i$ fois la matrice de Pauli non identitaire restante. En particulier, à un facteur de phase près, $Y$ est équivalent à $X Z,$ ce qui explique notre intérêt pour les erreurs $X$ et $Z$ et l'apparente absence d'intérêt pour les erreurs $Y$ en correction d'erreurs quantiques ; $X$ représente un retournement de bit, $Z$ représente un retournement de phase, et donc (à une phase globale près) $Y$ représente ces deux erreurs survenant simultanément sur le même qubit.

Opérations de Pauli sur plusieurs qubits

Les quatre matrices de Pauli représentent toutes des opérations (qui pourraient être des erreurs) sur un seul qubit — et en les mettant en produit tensoriel, nous obtenons des opérations sur plusieurs qubits. En termes de terminologie, lorsque nous parlons d'une opération de Pauli à n qubits, nous entendons un produit tensoriel de $n$ matrices de Pauli quelconques, comme les exemples montrés ici, pour lesquels $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Souvent, le terme opération de Pauli désigne un produit tensoriel de matrices de Pauli accompagné d'un facteur de phase, ou parfois uniquement certains facteurs de phase tels que $\pm 1$ et $\pm i.$ Il y a de bonnes raisons d'autoriser de tels facteurs de phase d'un point de vue mathématique — mais, pour garder les choses aussi simples que possible, nous utiliserons le terme opération de Pauli dans ce cours pour désigner un produit tensoriel de matrices de Pauli sans la possibilité d'un facteur de phase différent de 1.

Le poids d'une opération de Pauli à $n$ qubits est le nombre de matrices de Pauli non identitaires dans le produit tensoriel. Par exemple, le premier exemple ci-dessus a un poids $0,$ le deuxième un poids $2,$ et le troisième un poids $6.$ Intuitivement, le poids d'une opération de Pauli à $n$ qubits est le nombre de qubits sur lesquels elle agit de façon non triviale. Il est typique que les codes correcteurs d'erreurs quantiques soient conçus de manière à pouvoir détecter et corriger les erreurs représentées par des opérations de Pauli tant que leur poids n'est pas trop élevé.

Opérations de Pauli comme générateurs

Il est parfois utile de considérer des collections d'opérations de Pauli comme des générateurs d'ensembles (plus précisément, de groupes) d'opérations, dans un sens algébrique que tu reconnaîtras peut-être si tu es familiarisé avec la théorie des groupes. Si tu n'es pas familiarisé avec la théorie des groupes, ce n'est pas grave — elle n'est pas indispensable pour cette leçon. Une familiarité avec les bases de la théorie des groupes est cependant fortement recommandée pour ceux qui souhaitent explorer la correction d'erreurs quantiques plus en profondeur.

Supposons que $P_1, \ldots, P_r$ soient des opérations de Pauli à $n$ qubits. Lorsque nous parlons de l'ensemble engendré par $P_1, \ldots, P_r,$ nous entendons l'ensemble de toutes les matrices qui peuvent être obtenues en multipliant ces matrices ensemble, dans n'importe quelle combinaison et dans n'importe quel ordre, en prenant chacune autant de fois qu'on le souhaite. La notation utilisée pour désigner cet ensemble est $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

Par exemple, l'ensemble engendré par les trois matrices de Pauli non identitaires est le suivant.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

Cela peut se raisonner grâce aux règles de multiplication citées précédemment. Il y a 16 matrices différentes dans cet ensemble, communément appelé le groupe de Pauli.

Pour un deuxième exemple, si l'on retire $Y,$ on obtient la moitié du groupe de Pauli.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Voici un dernier exemple (pour l'instant), où cette fois nous avons $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

Dans ce cas, on n'obtient que quatre éléments, du fait que $X\otimes X$ et $Z\otimes Z$ commutent :

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Observables de Pauli

Les matrices de Pauli, et les opérations de Pauli à $n$ qubits plus généralement, sont unitaires, et décrivent donc des opérations unitaires sur les qubits. Mais elles sont aussi des matrices hermitiennes, et pour cette raison elles décrivent des mesures, comme nous allons maintenant l'expliquer.

Observables à matrices hermitiennes

Considérons d'abord une matrice hermitienne arbitraire $A.$ Lorsque nous faisons référence à $A$ comme observable, nous lui associons une certaine mesure projective uniquement définie. En d'autres termes, les résultats possibles sont les valeurs propres distinctes de $A,$ et les projections qui définissent la mesure sont celles qui projettent sur les espaces engendrés par les vecteurs propres correspondants de $A.$ Ainsi, les résultats d'une telle mesure sont des nombres réels — mais comme les matrices n'ont qu'un nombre fini de valeurs propres, il n'y aura qu'un nombre fini de résultats de mesure différents pour un choix donné de $A.$

Plus en détail, par le théorème spectral, il est possible d'écrire

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

pour des valeurs propres réelles distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ et des projections $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ satisfaisant

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

Une telle expression d'une matrice est unique à l'ordre des valeurs propres près. Une autre façon de le dire est que, si on insiste pour que les valeurs propres soient ordonnées par valeur décroissante $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ il n'y a qu'une seule façon d'écrire $A$ sous la forme ci-dessus.

En se basant sur cette expression, la mesure que nous associons à l'observable $A$ est la mesure projective décrite par les projections $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ et les valeurs propres $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ sont comprises comme étant les résultats de mesure correspondant à ces projections.

Mesures à partir des opérations de Pauli

Voyons à quoi ressemblent les mesures de ce type pour les opérations de Pauli, en commençant par les trois matrices de Pauli non identitaires. Ces matrices ont les décompositions spectrales suivantes.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Les mesures définies par $X,$ $Y$ et $Z,$ considérés comme observables, sont donc les mesures projectives définies par les ensembles de projections suivants, respectivement.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

Dans les trois cas, les deux résultats de mesure possibles sont les valeurs propres $+1$ et $-1.$ Ces mesures sont communément appelées mesures $X$, mesures $Y$ et mesures $Z$. Nous avons rencontré ces mesures dans la leçon « Mesures générales » de « Formulation générale de l'information quantique », où elles apparaissaient dans le contexte de la tomographie d'état quantique.

Bien sûr, une mesure $Z$ est essentiellement une mesure dans la base standard et une mesure $X$ est une mesure par rapport à la base plus/moins d'un qubit — mais, telles que ces mesures sont décrites ici, nous prenons les valeurs propres $+1$ et $-1$ comme étant les véritables résultats de mesure.

La même prescription peut être suivie pour les opérations de Pauli sur $n\geq 2$ qubits, bien qu'il faille souligner qu'il n'y aura toujours que deux résultats possibles pour les mesures décrites de cette façon : $+1$ et $-1,$ qui sont les seules valeurs propres possibles des opérations de Pauli. Les deux projections correspondantes auront donc un rang supérieur à un dans ce cas. Plus précisément, pour toute opération de Pauli à $n$ qubits non identitaire, l'espace d'état à $2^n$ dimensions se scinde toujours en deux sous-espaces de vecteurs propres de dimension égale, de sorte que les deux projections qui définissent la mesure associée auront toutes deux un rang $2^{n-1}.$

La mesure décrite par une opération de Pauli à $n$ qubits, considérée comme un observable, n'est donc pas la même chose qu'une mesure par rapport à une base orthonormée de vecteurs propres de cette opération, ni la même chose que mesurer indépendamment chacune des matrices de Pauli correspondantes, en tant qu'observables, sur $n$ qubits. Les deux alternatives nécessiteraient $2^n$ résultats de mesure possibles, mais ici nous n'avons que les deux résultats possibles $+1$ et $-1.$

Par exemple, considérons l'opération de Pauli à 2 qubits $Z\otimes Z$ comme un observable. On peut effectivement prendre le produit tensoriel des décompositions spectrales pour en obtenir une pour le produit tensoriel.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

Autrement dit, nous avons $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ pour

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{et}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

donc ce sont les deux projections qui définissent la mesure. Si, par exemple, on mesurait non destructivement un état de Bell $\vert\phi^+\rangle$ avec cette mesure, on serait certain d'obtenir le résultat $+1,$ et l'état resterait inchangé à la suite de la mesure. En particulier, l'état ne s'effondrerait pas sur $\vert 00\rangle$ ou $\vert 11\rangle.$

Implémentation non destructive par estimation de phase

Pour toute opération de Pauli à $n$ qubits, nous pouvons effectuer la mesure associée à cet observable de façon non destructive en utilisant l'estimation de phase.

Voici un circuit basé sur l'estimation de phase qui fonctionne pour toute matrice de Pauli $P,$ où la mesure est effectuée sur le qubit du haut. Les résultats $0$ et $1$ de la mesure dans la base standard dans le circuit correspondent aux valeurs propres $+1$ et $-1,$ comme c'est habituellement le cas pour l'estimation de phase avec un qubit de contrôle. (Remarque : le qubit de contrôle est en bas dans ce diagramme, tandis que dans la leçon « Estimation de phase et factorisation » des « Fondamentaux des algorithmes quantiques », les qubits de contrôle étaient dessinés en haut.)

Une méthode similaire fonctionne pour les opérations de Pauli sur plusieurs qubits. Par exemple, le diagramme de circuit suivant illustre une mesure non destructive de l'observable de Pauli à $3$ qubits $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ pour tout choix de $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

Cette approche se généralise aux observables de Pauli à $n$ qubits, pour tout $n,$ de façon naturelle. Bien sûr, lors de l'implémentation de telles mesures par cette approche, il suffit d'inclure des portes unitaires contrôlées pour les facteurs tensoriels non identitaires des observables de Pauli ; les portes identité contrôlées sont simplement des portes identité et peuvent donc être omises. Cela signifie que les observables de Pauli de poids plus faible nécessitent des circuits plus petits pour être implémentés par cette approche.

Remarque : indépendamment de $n,$ ces circuits d'estimation de phase n'ont qu'un seul qubit de contrôle, ce qui est cohérent avec le fait qu'il n'y a que deux résultats de mesure possibles pour ces mesures. Utiliser davantage de qubits de contrôle ne révélerait pas d'informations supplémentaires, car ces mesures sont déjà parfaites avec un seul qubit de contrôle. (Une façon de le voir est directement à partir de la procédure générale d'estimation de phase : l'hypothèse $U^2 = \mathbb{I}$ rend tout qubit de contrôle supplémentaire au-delà du premier inutile.)

Voici un exemple spécifique d'une implémentation non destructive d'une mesure $Z\otimes Z,$ qui est pertinente pour la description du code de répétition à 3 bits comme code stabilisateur que nous verrons bientôt.

Dans ce cas, et pour les produits tensoriels de plus de deux observables $Z$ plus généralement, le circuit peut être simplifié.

Ainsi, cette mesure est équivalente à mesurer non destructivement la parité (ou XOR) des états de la base standard de deux qubits.