Fidélité

Dans cette partie de la leçon, nous allons aborder la fidélité entre des états quantiques, qui est une mesure de leur similarité — ou de leur degré de « chevauchement ».

Étant donné deux vecteurs d'état quantique, la fidélité entre les états purs associés à ces vecteurs est égale à la valeur absolue du produit intérieur entre ces vecteurs. Cela offre une façon de base de mesurer leur similarité : le résultat est une valeur comprise entre $0$ et $1,$ où des valeurs plus grandes indiquent une plus grande similarité. En particulier, la valeur est nulle pour des états orthogonaux (par définition), tandis qu'elle vaut $1$ pour des états équivalents à une phase globale près.

De manière intuitive, la fidélité peut être vue comme une extension de cette mesure de base de la similarité, des vecteurs d'état quantique aux matrices densité.

Définition de la fidélité

Il est naturel de commencer par une définition de la fidélité. À première vue, la définition qui suit peut sembler inhabituelle ou mystérieuse, et peut-être pas facile à manipuler. La fonction qu'elle définit possède cependant de nombreuses propriétés intéressantes et plusieurs formulations alternatives, ce qui la rend bien plus maniable qu'il n'y paraît au premier abord.

Définition

Soient $\rho$ et $\sigma$ des matrices densité représentant des états quantiques d'un même système. La fidélité entre $\rho$ et $\sigma$ est définie par

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Remarque

Bien que ce soit une définition courante, il est également fréquent que la fidélité soit définie comme le carré de la quantité définie ici, alors appelée racine-fidélité. Aucune des deux définitions n'est juste ou fausse — c'est essentiellement une question de préférence. Il faut néanmoins toujours faire attention à bien comprendre ou préciser quelle définition est utilisée.

Pour donner un sens à la formule de la définition, remarque d'abord que $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ est une matrice semi-définie positive :

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

pour $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Comme toute matrice semi-définie positive, cette matrice admet une unique racine carrée semi-définie positive, dont la trace est la fidélité.

Pour toute matrice carrée $M,$ les valeurs propres des deux matrices semi-définies positives $M^{\dagger} M$ et $M M^{\dagger}$ sont toujours les mêmes, et il en va de même pour les racines carrées de ces matrices. En choisissant $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ et en utilisant le fait que la trace d'une matrice carrée est la somme de ses valeurs propres, on obtient

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Ainsi, bien que cela ne soit pas immédiat à partir de la définition, la fidélité est symétrique par rapport à ses deux arguments.

Fidélité en termes de la norme trace

Une façon équivalente d'exprimer la fidélité est donnée par cette formule :

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

On retrouve ici la norme trace, que nous avons rencontrée dans la leçon précédente dans le contexte de la discrimination d'états. La norme trace d'une matrice $M$ (pas nécessairement carrée) peut être définie comme

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

et en appliquant cette définition à la matrice $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ on obtient la formule de la définition.

Une autre façon d'exprimer la norme trace d'une matrice carrée $M$ est donnée par cette formule.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Ici, le maximum est pris sur toutes les matrices unitaires $U$ ayant le même nombre de lignes et de colonnes que $M.$ En appliquant cette formule à la situation présente, on obtient une autre expression de la fidélité.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidélité pour les états purs

Un dernier point sur la définition de la fidélité : tout état pur est (en tant que matrice densité) égal à sa propre racine carrée, ce qui permet de simplifier considérablement la formule de la fidélité lorsqu'un ou les deux états sont purs. En particulier, si l'un des deux états est pur, on dispose de la formule suivante.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Si les deux états sont purs, la formule se simplifie en la valeur absolue du produit intérieur des vecteurs d'état quantique correspondants, comme mentionné en début de section.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Propriétés de base de la fidélité

La fidélité possède de nombreuses propriétés remarquables et plusieurs formulations alternatives. Voici quelques propriétés de base, énoncées sans démonstration.

1. Pour toutes matrices densité $\rho$ et $\sigma$ de même taille, la fidélité $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ est comprise entre zéro et un : $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ On a $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ si et seulement si $\rho$ et $\sigma$ ont des images orthogonales (de sorte qu'ils peuvent être discriminés sans erreur), et $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ si et seulement si $\rho = \sigma.$
2. La fidélité est multiplicative, ce qui signifie que la fidélité entre deux états produits est égale au produit des fidélités individuelles : $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. La fidélité entre deux états est non-décroissante sous l'action de tout canal. C'est-à-dire que si $\rho$ et $\sigma$ sont des matrices densité et $\Phi$ est un canal pouvant prendre ces deux états en entrée, alors il est nécessairement vrai que $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Les inégalités de Fuchs-van de Graaf établissent une relation étroite (mais pas exacte) entre la fidélité et la distance trace : pour tous états $\rho$ et $\sigma$, on a $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

La dernière propriété peut être exprimée sous forme d'une figure :

Plus précisément, pour tout choix d'états $\rho$ et $\sigma$ du même système, la ligne horizontale coupant l'axe $y$ en $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ et la ligne verticale coupant l'axe $x$ en $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ doivent se croiser dans la région grise délimitée en bas par la droite $y = 1-x$ et en haut par le cercle unité. La région la plus intéressante de cette figure d'un point de vue pratique est le coin supérieur gauche de la région grise : si la fidélité entre deux états est proche de un, alors leur distance trace est proche de zéro, et vice versa.

Lemme de la mesure douce

Nous allons maintenant examiner un fait simple mais important, connu sous le nom de lemme de la mesure douce, qui relie la fidélité aux mesures non destructives. C'est un lemme très utile qui apparaît de temps en temps, et il est également remarquable car la définition apparemment maladroite de la fidélité rend en réalité ce lemme très facile à démontrer.

La configuration est la suivante. Soit $\mathsf{X}$ un système dans un état $\rho$ et soit $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ une collection de matrices semi-définies positives représentant une mesure générale de $\mathsf{X}.$ Supposons de plus que si cette mesure est effectuée sur le système $\mathsf{X}$ dans l'état $\rho,$ l'un des résultats est très probable. Pour être concret, supposons que le résultat de mesure probable est $0,$ et précisément supposons que

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

pour un petit nombre réel positif $\varepsilon > 0.$

Ce qu'énonce le lemme de la mesure douce, c'est que, sous ces hypothèses, la mesure non destructive obtenue à partir de $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ via le théorème de Naimark ne provoque qu'une faible perturbation de $\rho$ dans le cas où le résultat probable $0$ est observé.

Plus précisément, le lemme stipule que le carré de la fidélité entre $\rho$ et l'état obtenu après la mesure non destructive, conditionnellement au résultat $0,$ est supérieur à $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Nous aurons besoin d'un fait de base sur les mesures pour démontrer cela. Les matrices de mesure $P_0, \ldots, P_{m-1}$ sont semi-définies positives et leur somme est l'identité, ce qui nous permet de conclure que toutes les valeurs propres de $P_0$ sont des nombres réels compris entre $0$ et $1.$ Cela découle du fait que, pour tout vecteur unitaire $\vert\psi\rangle,$ la valeur $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ est un nombre réel non négatif pour chaque $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (car chaque $P_a$ est semi-définie positive), et du fait que ces nombres somment à un.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Ainsi, $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ est toujours un nombre réel compris entre $0$ et $1,$ ce qui implique que chaque valeur propre de $P_0$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1,$ car on peut choisir $\vert\psi\rangle$ spécifiquement comme un vecteur propre unitaire correspondant à la valeur propre qui nous intéresse.

À partir de cette observation, on peut conclure l'inégalité suivante pour toute matrice densité $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

En détail, en partant d'une décomposition spectrale

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

on conclut que

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

du fait que $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ est un nombre réel non négatif et que $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ pour chaque $k = 0,\ldots,n-1.$ (Élever au carré des nombres entre $0$ et $1$ ne peut jamais les rendre plus grands.)

On peut maintenant démontrer le lemme de la mesure douce en évaluant la fidélité puis en utilisant notre inégalité. Commençons par simplifier l'expression qui nous intéresse.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Remarque que ce sont toutes des égalités — nous n'avons pas encore utilisé notre inégalité (ni aucune autre inégalité) à ce stade, donc nous avons une expression exacte pour la fidélité. Nous pouvons maintenant utiliser notre inégalité pour conclure

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

et donc, en élevant les deux membres au carré,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Théorème d'Uhlmann

Pour conclure la leçon, nous allons examiner le théorème d'Uhlmann, qui est un fait fondamental sur la fidélité le reliant à la notion de purification. Ce que dit le théorème, en termes simples, c'est que la fidélité entre deux états quantiques quelconques est égale au maximum du produit intérieur (en valeur absolue) entre deux purifications de ces états.

Théorème

Théorème d'Uhlmann : Soient $\rho$ et $\sigma$ des matrices densité représentant des états d'un système $\mathsf{X},$ et soit $\mathsf{Y}$ un système ayant au moins autant d'états classiques que $\mathsf{X}.$ La fidélité entre $\rho$ et $\sigma$ est donnée par

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

où le maximum est pris sur tous les vecteurs d'état quantique $\vert\phi\rangle$ et $\vert\psi\rangle$ de $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

On peut démontrer ce théorème en utilisant l'équivalence unitaire des purifications — mais ce n'est pas entièrement immédiat et nous ferons appel à une astuce en cours de route.

Pour commencer, considérons les décompositions spectrales des deux matrices densité $\rho$ et $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Les deux collections $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ et $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ sont des bases orthonormées de vecteurs propres de $\rho$ et $\sigma,$ respectivement, et $p_0,\ldots,p_{n-1}$ et $q_0,\ldots,q_{n-1}$ sont les valeurs propres correspondantes.

Nous allons aussi définir $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ et $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ comme les vecteurs obtenus en prenant le conjugué complexe de chaque composante de $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ et $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ C'est-à-dire que, pour un vecteur arbitraire $\vert w\rangle,$ on peut définir $\vert\overline{w}\rangle$ selon l'équation suivante pour chaque $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Remarque que pour deux vecteurs quelconques $\vert u\rangle$ et $\vert v\rangle$ on a $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Plus généralement, pour toute matrice carrée $M$ on dispose de la formule suivante.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Il s'ensuit que $\vert u\rangle$ et $\vert v\rangle$ sont orthogonaux si et seulement si $\vert \overline{u}\rangle$ et $\vert \overline{v}\rangle$ sont orthogonaux, et donc $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ et $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ sont toutes deux des bases orthonormées.

Considérons maintenant les deux vecteurs $\vert\phi\rangle$ et $\vert\psi\rangle$ suivants, qui sont des purifications de $\rho$ et $\sigma,$ respectivement.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

C'est l'astuce mentionnée précédemment. Rien n'indique explicitement à ce stade que c'est une bonne idée de faire ces choix particuliers de purifications de $\rho$ et $\sigma,$ mais ce sont bien des purifications valides, et les conjugaisons complexes permettront à l'algèbre de fonctionner comme nécessaire.

Par l'équivalence unitaire des purifications, on sait que toute purification de $\rho$ pour la paire de systèmes $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ doit prendre la forme $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ pour une certaine matrice unitaire $U,$ et de même toute purification de $\sigma$ pour la paire $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ doit prendre la forme $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ pour une certaine matrice unitaire $V.$ Le produit intérieur de deux telles purifications peut être simplifié comme suit.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Lorsque $U$ et $V$ parcourent toutes les matrices unitaires possibles, la matrice $(U^{\dagger} V)^T$ parcourt également toutes les matrices unitaires possibles. Ainsi, en maximisant la valeur absolue du produit intérieur de deux purifications de $\rho$ et $\sigma,$ on obtient l'équation suivante.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

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