Introduction

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Dans le cours « Bases de l'information quantique », nous avons discuté d'un cadre pour l'information quantique dans lequel les états quantiques sont représentés par des vecteurs d'état quantique, les opérations sont représentées par des matrices unitaires, et ainsi de suite. Nous avons ensuite utilisé ce cadre dans le cours « Fondamentaux des algorithmes quantiques » pour décrire et analyser les algorithmes quantiques.

Il existe en réalité deux descriptions mathématiques courantes de l'information quantique, celle introduite dans « Bases de l'information quantique » étant la plus simple des deux. Pour cette raison, nous l'appellerons la formulation simplifiée de l'information quantique.

Dans cette leçon, nous commencerons notre exploration de la seconde description, qui est la formulation générale de l'information quantique. Elle est, naturellement, cohérente avec la formulation simplifiée, mais offre des avantages notables. Par exemple, elle peut être utilisée pour décrire l'incertitude dans les états quantiques et modéliser les effets du bruit sur les calculs quantiques. Elle constitue le fondement de la théorie de l'information quantique, de la cryptographie quantique et d'autres sujets liés à l'information quantique, et elle est aussi assez belle d'un point de vue mathématique.

Dans la formulation générale de l'information quantique, les états quantiques ne sont pas représentés par des vecteurs comme dans la formulation simplifiée, mais plutôt par une classe particulière de matrices appelées matrices densité. Voici quelques points clés qui motivent leur utilisation.

• Les matrices densité peuvent représenter une classe d'états quantiques plus large que les vecteurs d'état quantique. Cela inclut des états qui se manifestent dans des contextes pratiques, tels que les états de systèmes quantiques soumis au bruit, ainsi que des choix aléatoires d'états quantiques.

• Les matrices densité nous permettent de décrire les états de parties isolées de systèmes, comme l'état d'un système qui se trouve être intriqué avec un autre système que nous souhaitons ignorer. Cela n'est pas facile à faire dans la formulation simplifiée de l'information quantique.

• Les états classiques (probabilistes) peuvent également être représentés par des matrices densité, spécifiquement celles qui sont diagonales. C'est important car cela permet de décrire ensemble l'information quantique et classique dans un cadre mathématique unique, l'information classique étant essentiellement un cas particulier de l'information quantique.

À première vue, il peut sembler étrange que les états quantiques soient représentés par des matrices, qui représentent plus typiquement des actions ou des opérations, plutôt que des états. Par exemple, les matrices unitaires décrivent les opérations quantiques dans la formulation simplifiée de l'information quantique et les matrices stochastiques décrivent les opérations probabilistes dans le contexte de l'information classique. En revanche, bien que les matrices densité soient bien des matrices, elles représentent des états — et non des actions ou des opérations.

Malgré cela, le fait que les matrices densité puissent (comme toutes les matrices) être associées à des applications linéaires est un aspect qui les rend d'une importance cruciale. Par exemple, les valeurs propres des matrices densité décrivent l'aléatoire ou l'incertitude inhérente aux états qu'elles représentent.

Vidéo de la leçon

Dans la vidéo suivante, John Watrous te guide à travers le contenu de cette leçon sur les matrices densité. Tu peux également ouvrir la vidéo YouTube de cette leçon dans une fenêtre séparée. Télécharge les diapositives de cette leçon.