Téléportation quantique

La téléportation quantique, ou simplement la téléportation, est un protocole qui permet à un émetteur (Alice) de transmettre un qubit à un destinataire (Bob) en exploitant un état quantique intriqué partagé (un e-bit, pour être précis) ainsi que deux bits de communication classique. Le nom téléportation fait écho au concept de la science-fiction où la matière est transportée d'un endroit à un autre par un procédé futuriste, mais il faut bien comprendre qu'aucune matière n'est téléportée dans la téléportation quantique — ce qui est réellement téléporté, c'est de l'information quantique.

Voici la mise en place de la téléportation.

On suppose qu'Alice et Bob partagent un e-bit : Alice détient un qubit $\mathsf{A},$ Bob détient un qubit $\mathsf{B},$ et la paire $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se trouve dans l'état $\vert\phi^+\rangle.$ Il se peut, par exemple, qu'Alice et Bob aient été au même endroit dans le passé, qu'ils aient préparé les qubits $\mathsf{A}$ et $\mathsf{B}$ dans l'état $\vert \phi^+ \rangle,$ puis que chacun soit parti avec son qubit. Ou bien, un autre processus — impliquant une tierce partie ou un processus distribué complexe — a pu être utilisé pour établir cet e-bit partagé. Ces détails ne font pas partie du protocole de téléportation en lui-même.

Alice prend alors possession d'un troisième qubit $\mathsf{Q}$ qu'elle souhaite transmettre à Bob. L'état du qubit $\mathsf{Q}$ est considéré comme inconnu d'Alice et de Bob, et aucune hypothèse n'est formulée à son sujet. Par exemple, le qubit $\mathsf{Q}$ pourrait être intriqué avec un ou plusieurs autres systèmes auxquels ni Alice ni Bob n'ont accès. Dire qu'Alice souhaite transmettre le qubit $\mathsf{Q}$ à Bob signifie qu'Alice aimerait que Bob détienne un qubit dans le même état que celui de $\mathsf{Q}$ au début du protocole, avec toutes les corrélations que $\mathsf{Q}$ avait avec d'autres systèmes — comme si Alice lui avait physiquement remis $\mathsf{Q}$.

On pourrait imaginer qu'Alice envoie physiquement le qubit $\mathsf{Q}$ à Bob, et si celui-ci lui parvient sans être altéré ni perturbé en transit, la tâche d'Alice et de Bob sera accomplie. Dans le contexte de la téléportation, cependant, on suppose que cela n'est pas réalisable : Alice ne peut pas envoyer de qubits directement à Bob. En revanche, elle peut lui envoyer de l'information classique.

Ce sont des hypothèses raisonnables dans de nombreuses situations. Par exemple, si Alice ne connaît pas la localisation exacte de Bob, ou si la distance entre eux est grande, envoyer physiquement un qubit avec la technologie d'aujourd'hui — ou du futur prévisible — serait pour le moins un défi. En revanche, comme chacun le sait par expérience quotidienne, la transmission d'information classique dans ces circonstances est tout à fait simple.

À ce stade, on pourrait se demander s'il est possible pour Alice et Bob d'accomplir leur tâche sans même avoir besoin d'un e-bit partagé. Autrement dit, existe-t-il un moyen de transmettre un qubit en utilisant uniquement la communication classique ?

La réponse est non : il n'est pas possible de transmettre de l'information quantique par communication classique seule. Ce n'est pas trop difficile à démontrer mathématiquement à l'aide de la théorie quantique de l'information de base, mais on peut également écarter cette possibilité en réfléchissant au théorème de non-clonage.

Imaginons qu'il existe un moyen d'envoyer de l'information quantique par communication classique seule. L'information classique peut facilement être copiée et diffusée, ce qui signifie que toute transmission classique d'Alice vers Bob pourrait également être reçue par un second destinataire (Charlie, disons). Mais si Charlie reçoit la même communication classique que Bob, ne serait-il pas lui aussi capable d'obtenir une copie du qubit $\mathsf{Q}$ ? Cela laisserait entendre que $\mathsf{Q}$ a été cloné, ce que le théorème de non-clonage interdit, et on conclut donc qu'il n'existe aucun moyen d'envoyer de l'information quantique par communication classique seule.

Toutefois, dès lors qu'Alice et Bob partagent un e-bit, il leur est possible d'accomplir leur tâche. C'est précisément ce que fait le protocole de téléportation quantique.

Protocole

Voici le circuit quantique décrivant le protocole de téléportation :

Le diagramme est légèrement stylisé en ce qu'il représente la séparation entre Alice et Bob, avec deux fils diagonaux représentant les bits classiques envoyés d'Alice à Bob, mais il s'agit par ailleurs d'un diagramme de circuit quantique ordinaire. Les noms des qubits sont indiqués au-dessus des fils plutôt qu'à gauche afin de pouvoir afficher également les états initiaux (ce que l'on fera souvent quand c'est commode). Il convient également de noter que les portes $X$ et $Z$ ont des contrôles classiques, ce qui signifie simplement que les portes sont appliquées ou non selon que ces bits de contrôle classiques valent $0$ ou $1,$ respectivement.

En termes simples, le protocole de téléportation se déroule comme suit :

1. Alice effectue une opération CNOT sur la paire $(\mathsf{A},\mathsf{Q}),$ avec $\mathsf{Q}$ comme contrôle et $\mathsf{A}$ comme cible, puis applique une opération de Hadamard sur $\mathsf{Q}.$

2. Alice mesure ensuite $\mathsf{A}$ et $\mathsf{Q}$ tous les deux dans la base standard, et transmet les résultats classiques à Bob. Appelons $a$ le résultat de la mesure de $\mathsf{A}$ et $b$ celui de la mesure de $\mathsf{Q}.$

3. Bob reçoit $a$ et $b$ d'Alice, et en fonction de ces valeurs il effectue les opérations suivantes :

   • Si $a = 1,$ Bob applique un bit flip (ou porte $X$) sur son qubit $\mathsf{B}.$
   • Si $b = 1,$ Bob applique un phase flip (ou porte $Z$) sur son qubit $\mathsf{B}.$

   Autrement dit, selon que $ab$ vaut $00,$ $01,$ $10,$ ou $11,$ Bob applique l'une des opérations $\mathbb{I},$ $Z,$ $X,$ ou $ZX$ sur le qubit $\mathsf{B}.$

C'est la description complète du protocole de téléportation. L'analyse qui suit montre que, lorsqu'il est exécuté, le qubit $\mathsf{B}$ se retrouve dans l'état dans lequel se trouvait $\mathsf{Q}$ avant l'exécution du protocole, avec toutes les corrélations qu'il avait avec d'autres systèmes — ce qui revient à dire que le protocole a effectivement mis en œuvre un canal de communication qubit parfait, où l'état de $\mathsf{Q}$ a été « téléporté » dans $\mathsf{B}.$

Avant de passer à l'analyse, remarquons que ce protocole ne réussit pas à cloner l'état de $\mathsf{Q},$ ce qui est déjà impossible d'après le théorème de non-clonage. Au contraire, une fois le protocole terminé, l'état du qubit $\mathsf{Q}$ aura changé de sa valeur initiale à $\vert b\rangle$ en raison de la mesure effectuée dessus. Notons également que l'e-bit a en quelque sorte été « consumé » dans le processus : l'état de $\mathsf{A}$ est passé à $\vert a\rangle$ et n'est plus intriqué avec $\mathsf{B}$ (ni avec aucun autre système). C'est le coût de la téléportation.

Analyse

Pour analyser le protocole de téléportation, on va examiner pas à pas le comportement du circuit décrit ci-dessus, en commençant par le cas où $\mathsf{Q}$ est initialement dans l'état $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle.$ Ce n'est pas le cas le plus général, car il ne tient pas compte de la possibilité que $\mathsf{Q}$ soit intriqué avec d'autres systèmes, mais commencer par ce cas plus simple rendra l'analyse plus claire. Le cas général est traité ci-dessous, après l'analyse du cas simple.

Plus précisément, on examinera les états des qubits $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ aux instants suggérés par cette figure :

En supposant que le qubit $\mathsf{Q}$ commence le protocole dans l'état $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle,$ l'état des trois qubits $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ au début du protocole est donc

$$\vert \pi_0 \rangle = \vert \phi^+\rangle \otimes \bigl(\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle \bigr) = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 001\rangle + \beta \vert 111\rangle}{\sqrt{2}}.$$

La première porte appliquée est la porte CNOT, qui transforme l'état $\vert\pi_0\rangle$ en

$$\vert \pi_1 \rangle = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 011\rangle + \beta \vert 101\rangle}{\sqrt{2}}.$$

Ensuite, la porte de Hadamard est appliquée, ce qui transforme l'état $\vert\pi_1\rangle$ en

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle & = \frac{\alpha \vert 00\rangle \vert + \rangle + \alpha \vert 11\rangle\vert +\rangle + \beta \vert 01\rangle\vert -\rangle + \beta \vert 10\rangle\vert -\rangle}{\sqrt{2}}\\[2mm] & = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 001 \rangle + \alpha \vert 110 \rangle + \alpha \vert 111 \rangle + \beta \vert 010 \rangle - \beta \vert 011 \rangle + \beta \vert 100 \rangle - \beta \vert 101 \rangle}{2}. \end{aligned}$$

En utilisant la multilinéarité du produit tensoriel, on peut écrire cet état de la façon suivante :

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 00\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle - \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 01\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle + \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 10\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle - \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 11\rangle. \end{aligned}$$

À première vue, il pourrait sembler que quelque chose de magique s'est produit, car le qubit le plus à gauche $\mathsf{B}$ semble désormais dépendre des nombres $\alpha$ et $\beta,$ alors qu'aucune communication n'a encore eu lieu d'Alice vers Bob. C'est une illusion. Les scalaires circulent librement à travers les produits tensoriels, donc $\alpha$ et $\beta$ ne sont ni plus ni moins associés au qubit le plus à gauche qu'aux autres qubits ; tout ce qu'on a fait, c'est utiliser l'algèbre pour exprimer l'état d'une façon qui facilite l'analyse des mesures.

Examinons maintenant les quatre résultats possibles des mesures dans la base standard effectuées par Alice, ainsi que les actions correspondantes de Bob.

Résultats possibles

• Le résultat de la mesure d'Alice est $aq = 00$ avec probabilité

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  auquel cas l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ devient

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 00 \rangle.$$

  Bob ne fait rien dans ce cas, et c'est donc l'état final de ces trois qubits.

• Le résultat de la mesure d'Alice est $aq = 01$ avec probabilité

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle - \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  auquel cas l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ devient

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle - \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

  Dans ce cas, Bob applique une porte $Z$ sur $\mathsf{B},$ laissant $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ dans l'état

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

• Le résultat de la mesure d'Alice est $aq = 10$ avec probabilité

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle + \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  auquel cas l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ devient

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle + \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

  Dans ce cas, Bob applique une porte $X$ sur le qubit $\mathsf{B},$ laissant $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ dans l'état

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

• Le résultat de la mesure d'Alice est $aq = 11$ avec probabilité

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle - \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  auquel cas l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ devient

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle - \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

  Dans ce cas, Bob effectue l'opération $ZX$ sur le qubit $\mathsf{B},$ laissant $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ dans l'état

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

On voit maintenant que, dans les quatre cas, le qubit $\mathsf{B}$ de Bob se retrouve dans l'état $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ à la fin du protocole, qui est l'état initial du qubit $\mathsf{Q}.$ C'est ce qu'on voulait montrer : le protocole de téléportation a fonctionné correctement.

On constate également que les qubits $\mathsf{A}$ et $\mathsf{Q}$ se retrouvent dans l'un des quatre états $\vert 00\rangle,$ $\vert 01\rangle,$ $\vert 10\rangle,$ ou $\vert 11\rangle,$ chacun avec probabilité $1/4,$ selon les résultats de mesure obtenus par Alice. Ainsi, comme on l'avait déjà suggéré, à la fin du protocole Alice ne possède plus l'état $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ ce qui est cohérent avec le théorème de non-clonage.

Remarquons que les mesures d'Alice ne révèlent absolument aucune information sur l'état $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ En effet, la probabilité de chacun des quatre résultats de mesure possibles est $1/4,$ indépendamment de $\alpha$ et $\beta.$ Cela est également essentiel pour que la téléportation fonctionne correctement. Extraire de l'information d'un état quantique inconnu le perturbe en général nécessairement, mais ici Bob obtient l'état sans qu'il soit perturbé.

Considérons maintenant le cas plus général où le qubit $\mathsf{Q}$ est initialement intriqué avec un autre système, que l'on appellera $\mathsf{R}.$ Une analyse similaire à celle ci-dessus révèle que le protocole de téléportation fonctionne correctement dans ce cas plus général : à la fin du protocole, le qubit $\mathsf{B}$ détenu par Bob est intriqué avec $\mathsf{R}$ de la même façon que $\mathsf{Q}$ l'était au début du protocole, comme si Alice avait simplement remis $\mathsf{Q}$ à Bob.

Pour le démontrer, supposons que l'état de la paire $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ est initialement donné par un vecteur d'état quantique de la forme

$$\alpha \vert 0 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_1\rangle_{\mathsf{R}},$$

où $\vert\gamma_0\rangle$ et $\vert\gamma_1\rangle$ sont des vecteurs d'état quantique pour le système $\mathsf{R}$ et $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres complexes satisfaisant $\vert \alpha \vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1.$ Tout vecteur d'état quantique de la paire $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ peut s'exprimer de cette façon.

La figure suivante représente le même circuit qu'auparavant, avec l'ajout du système $\mathsf{R}$ (représenté par un ensemble de qubits en haut du diagramme sur lesquels rien ne se passe).

Pour analyser ce qui se passe lors de l'exécution du protocole de téléportation, il est utile de permuter les systèmes, dans le même esprit que ce qui a été décrit dans la leçon précédente. Plus précisément, on considérera l'état des systèmes dans l'ordre $(\mathsf{B},\mathsf{R},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ plutôt que $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q},\mathsf{R}).$ Les noms des différents systèmes sont inclus en indice dans les expressions qui suivent pour plus de clarté.

Au début du protocole, l'état de ces systèmes est le suivant :

$$\begin{aligned} \vert \pi_0\rangle & = \vert \phi^+\rangle_{\mathsf{BA}} \otimes \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{Q}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{Q}}\vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}}\bigr)\\[1mm] & = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11 \rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

On applique d'abord la porte CNOT, qui transforme cet état en

$$\vert\pi_1\rangle = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}.$$

Ensuite, la porte de Hadamard est appliquée. Après développement et simplification de l'état résultant, selon une démarche similaire à l'analyse du cas simple ci-dessus, on obtient l'expression suivante :

$$\begin{aligned} \vert \pi_2 \rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}}. \end{aligned}$$

En procédant exactement comme auparavant — en considérant les quatre résultats possibles des mesures d'Alice ainsi que les actions correspondantes de Bob —, on trouve qu'à la fin du protocole, l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{R})$ est toujours

$$\alpha \vert 0 \rangle \vert \gamma_0\rangle + \beta \vert 1 \rangle \vert \gamma_1\rangle.$$

De façon informelle, l'analyse ne change pas de manière significative par rapport au cas plus simple ci-dessus ; $\vert\gamma_0\rangle$ et $\vert\gamma_1\rangle$ « suivent essentiellement le mouvement ». Ainsi, la téléportation réussit à créer un canal de communication quantique parfait, transmettant effectivement le contenu du qubit $\mathsf{Q}$ dans $\mathsf{B}$ tout en préservant toutes les corrélations avec les autres systèmes.

Ce résultat n'est en fait pas surprenant du tout, au vu de l'analyse du cas simple ci-dessus. Comme cette analyse l'a montré, on dispose d'un processus physique qui agit comme l'opération identité sur un qubit dans un état quantique arbitraire, et il n'y a qu'une seule façon que cela se produise : l'opération mise en œuvre par le protocole doit être l'opération identité. Autrement dit, dès lors qu'on sait que la téléportation fonctionne correctement pour un qubit seul, on peut conclure que le protocole met effectivement en œuvre un canal quantique parfait et sans bruit, et qu'il doit donc fonctionner correctement même si le qubit d'entrée est intriqué avec un autre système.

Pour aller plus loin

Voici quelques remarques conclusives brèves sur la téléportation.

Premièrement, la téléportation n'est pas une application de l'information quantique, c'est un protocole pour effectuer de la communication quantique. Elle n'est donc utile que dans la mesure où la communication quantique est utile.

Il est effectivement raisonnable d'imaginer que la téléportation pourrait un jour devenir un moyen standard de communiquer de l'information quantique, peut-être grâce à un processus connu sous le nom de distillation d'intrication. Il s'agit d'un processus qui convertit un plus grand nombre d'e-bits bruités (ou imparfaits) en un plus petit nombre d'e-bits de haute qualité, qui pourraient ensuite être utilisés pour une téléportation sans bruit ou quasi sans bruit. L'idée est que le processus de distillation d'intrication est moins délicat que la communication quantique directe. On pourrait accepter des pertes, par exemple, et si le processus échoue, on peut simplement recommencer. En revanche, les qubits que l'on cherche à communiquer pourraient être bien plus précieux.

Enfin, il faut comprendre que l'idée derrière la téléportation et son fonctionnement est tout à fait fondamentale en information et en calcul quantiques. C'est vraiment une pierre angulaire de la théorie de l'information quantique, et des variantes en découlent. Par exemple, des portes quantiques peuvent être mises en œuvre grâce à un processus étroitement lié appelé téléportation de porte quantique, qui utilise la téléportation pour appliquer des opérations à des qubits plutôt que de les communiquer.