Codage superdense

Le codage superdense est un protocole qui, dans un certain sens, atteint un objectif complémentaire à la téléportation. Plutôt que de permettre la transmission d'un qubit en utilisant deux bits classiques de communication (au coût d'un e-bit d'intrication), il permet la transmission de deux bits classiques en utilisant un qubit de communication quantique (encore une fois, au coût d'un e-bit d'intrication).

Plus en détail, nous avons un émetteur (Alice) et un récepteur (Bob) qui partagent un e-bit d'intrication. Selon les conventions en vigueur pour la leçon, cela signifie qu'Alice détient un qubit $\mathsf{A},$ Bob détient un qubit $\mathsf{B},$ et ensemble la paire $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ est dans l'état $\vert\phi^+\rangle.$ Alice souhaite transmettre deux bits classiques à Bob, que nous noterons $c$ et $d,$ et elle y parviendra en lui envoyant un qubit.

Il est raisonnable de considérer cet exploit comme moins intéressant que celui qu'accomplit la téléportation. L'envoi de qubits sera probablement tellement plus difficile que l'envoi de bits classiques dans un avenir prévisible que l'échange d'un qubit de communication quantique contre deux bits de communication classique, au coût d'un e-bit qui plus est, semble à peine valoir la peine. Cependant, cela n'implique pas que le codage superdense n'est pas intéressant, car il l'est assurément.

Dans le thème de la leçon, une raison pour laquelle le codage superdense est intéressant est qu'il démontre une utilisation concrète et (dans le contexte de la théorie de l'information) assez frappante de l'intrication. Un théorème célèbre en théorie de l'information quantique, connu sous le nom de théorème de Holevo, implique que sans l'utilisation d'un état intriqué partagé, il est impossible de communiquer plus d'un bit d'information classique en envoyant un seul qubit. (Le théorème de Holevo est plus général que cela. Son énoncé précis est technique et nécessite des explications, mais c'est l'une de ses conséquences.) Ainsi, grâce au codage superdense, l'intrication partagée permet effectivement de doubler la capacité de transmission d'information classique lors de l'envoi de qubits.

Protocole

Le diagramme de circuit quantique suivant décrit le protocole de codage superdense :

En mots, voici ce qu'Alice fait :

1. Si $d=1,$ Alice applique une porte $Z$ sur son qubit $\mathsf{A}$ (et si $d=0$, elle ne le fait pas).

2. Si $c=1,$ Alice applique une porte $X$ sur son qubit $\mathsf{A}$ (et si $c=0$, elle ne le fait pas).

Alice envoie ensuite son qubit $\mathsf{A}$ à Bob.

Ce que fait Bob quand il reçoit le qubit $\mathsf{A}$ est d'abord d'appliquer une porte NOT contrôlée, avec $\mathsf{A}$ comme contrôle et $\mathsf{B}$ comme cible, puis il applique une porte de Hadamard à $\mathsf{A}.$ Il mesure ensuite $\mathsf{B}$ pour obtenir $c$ et $\mathsf{A}$ pour obtenir $d,$ avec des mesures en base standard dans les deux cas.

Analyse

L'idée derrière ce protocole est assez simple : Alice choisit effectivement quel état de Bell elle souhaite partager avec Bob, elle envoie le qubit à Bob, et Bob mesure pour déterminer quel état de Bell Alice a choisi.

C'est-à-dire qu'ils partagent initialement $\vert\phi^+\rangle,$ et en fonction des bits $c$ et $d,$ Alice soit laisse cet état tel quel, soit le déplace vers l'un des autres états de Bell en appliquant $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ ou $XZ$ à son qubit $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Les actions de Bob ont les effets suivants sur les quatre états de Bell :

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Cela peut être vérifié directement, en calculant les résultats des opérations de Bob sur ces états un à un.

Ainsi, lorsque Bob effectue ses mesures, il est capable de déterminer quel état de Bell Alice a choisi. Vérifier que le protocole fonctionne correctement revient à vérifier chaque cas :

• Si $cd = 00,$ alors l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quand Bob reçoit $\mathsf{A}$ est $\vert \phi^+\rangle.$ Il transforme cet état en $\vert 00\rangle$ et obtient $cd = 00.$

• Si $cd = 01,$ alors l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quand Bob reçoit $\mathsf{A}$ est $\vert \phi^-\rangle.$ Il transforme cet état en $\vert 01\rangle$ et obtient $cd = 01.$

• Si $cd = 10,$ alors l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quand Bob reçoit $\mathsf{A}$ est $\vert \psi^+\rangle.$ Il transforme cet état en $\vert 10\rangle$ et obtient $cd = 10.$

• Si $cd = 11,$ alors l'état de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quand Bob reçoit $\mathsf{A}$ est $\vert \psi^-\rangle.$ Il transforme cet état en $-\vert 11\rangle$ et obtient $cd = 11.$ (Le facteur de phase moins un n'a aucun effet ici.)