Notions de base sur les canaux quantiques

En termes mathématiques, les canaux sont des applications linéaires de matrices densité vers des matrices densité qui satisfont certaines exigences. Tout au long de cette leçon, nous utiliserons des lettres grecques majuscules, notamment $\Phi$ et $\Psi,$ ainsi que quelques autres lettres dans des cas particuliers, pour désigner les canaux.

Chaque canal $\Phi$ possède un système d'entrée et un système de sortie ; nous utiliserons généralement le nom $\mathsf{X}$ pour le système d'entrée et $\mathsf{Y}$ pour le système de sortie. Il est courant que le système de sortie d'un canal soit identique au système d'entrée ; dans ce cas, on peut utiliser la même lettre $\mathsf{X}$ pour les deux.

Les canaux sont des applications linéaires

Les canaux sont décrits par des applications linéaires, tout comme les opérations probabilistes dans la formulation classique standard de l'information et les opérations unitaires dans la formulation simplifiée de l'information quantique.

Si un canal $\Phi$ est appliqué à un système d'entrée $\mathsf{X}$ dont l'état est décrit par une matrice densité $\rho,$ alors le système de sortie du canal est décrit par la matrice densité $\Phi(\rho).$ Dans le cas où le système de sortie de $\Phi$ est également $\mathsf{X},$ on peut simplement voir que le canal représente un changement d'état de $\mathsf{X},$ de $\rho$ à $\Phi(\rho).$ Lorsque le système de sortie de $\Phi$ est un système différent, $\mathsf{Y},$ plutôt que $\mathsf{X},$ il faut comprendre que $\mathsf{Y}$ est un nouveau système créé par le processus d'application du canal, et que le système d'entrée $\mathsf{X}$ n'est plus disponible une fois le canal appliqué — comme si le canal lui-même avait transformé $\mathsf{X}$ en $\mathsf{Y},$ le laissant dans l'état $\Phi(\rho).$

L'hypothèse que les canaux sont décrits par des applications linéaires peut être vue comme un axiome — autrement dit, un postulat de base de la théorie plutôt que quelque chose qui se démontre. On peut cependant voir la nécessité que les canaux agissent linéairement sur les combinaisons convexes d'entrées sous forme de matrices densité, afin qu'ils soient cohérents avec la théorie des probabilités et ce que nous avons déjà appris sur les matrices densité.

Pour être plus précis, supposons que nous ayons un canal $\Phi$ et que nous l'appliquions à un système se trouvant dans l'un des deux états représentés par les matrices densité $\rho$ et $\sigma.$ Si on applique le canal à $\rho,$ on obtient la matrice densité $\Phi(\rho),$ et si on l'applique à $\sigma,$ on obtient la matrice densité $\Phi(\sigma).$ Ainsi, si on choisit aléatoirement l'état d'entrée de $\mathsf{X}$ comme étant $\rho$ avec probabilité $p$ et $\sigma$ avec probabilité $1-p,$ on obtiendra l'état de sortie $\Phi(\rho)$ avec probabilité $p,$ et $\Phi(\sigma)$ avec probabilité $1-p,$ ce que l'on représente par une moyenne pondérée de matrices densité sous la forme $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

D'un autre côté, on pourrait considérer l'état d'entrée du canal comme étant représenté par la moyenne pondérée $p\rho + (1-p)\sigma,$ auquel cas la sortie est $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ C'est le même état quelle que soit la façon dont on choisit d'y penser, donc on doit avoir

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Chaque fois qu'on dispose d'une application satisfaisant cette condition pour tout choix de matrices densité $\rho$ et $\sigma$ et de scalaires $p\in [0,1],$ il existe toujours une façon unique d'étendre cette application à toute entrée matricielle (c'est-à-dire pas seulement aux entrées sous forme de matrices densité) de sorte qu'elle soit linéaire.

Les canaux transforment les matrices densité en matrices densité

Naturellement, en plus d'être des applications linéaires, les canaux doivent aussi transformer des matrices densité en matrices densité. Si un canal $\Phi$ est appliqué à un système d'entrée alors que ce système est dans un état représenté par une matrice densité $\rho,$ on obtient un système dont l'état est représenté par $\Phi(\rho),$ qui doit être une matrice densité valide pour qu'on puisse l'interpréter comme un état.

Il est cependant crucial de considérer une situation plus générale, où un canal $\Phi$ transforme un système $\mathsf{X}$ en un système $\mathsf{Y}$ en présence d'un système supplémentaire $\mathsf{Z}$ auquel rien ne se passe. C'est-à-dire que si on commence avec la paire de systèmes $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ dans un état décrit par une certaine matrice densité, puis qu'on applique $\Phi$ uniquement à $\mathsf{X},$ le transformant en $\mathsf{Y},$ on doit obtenir une matrice densité décrivant un état de la paire $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

On peut décrire en termes mathématiques comment un canal $\Phi,$ ayant un système d'entrée $\mathsf{X}$ et un système de sortie $\mathsf{Y},$ transforme un état de la paire $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ en un état de $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ quand rien n'est fait à $\mathsf{Z}.$ Pour simplifier les choses, on supposera que l'ensemble des états classiques de $\mathsf{Z}$ est $\{0,\ldots,m-1\}.$ Cela nous permet d'écrire une matrice densité arbitraire $\rho,$ représentant un état de $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ sous la forme suivante.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

Du côté droit de cette équation, on a une matrice par blocs, qu'on peut considérer comme une matrice de matrices à l'exception que les parenthèses intérieures sont supprimées. Cela nous laisse avec une matrice ordinaire qui peut alternativement être décrite à l'aide de la notation de Dirac comme dans l'expression du milieu. Chaque matrice $\rho_{a,b}$ possède des lignes et des colonnes correspondant aux états classiques de $\mathsf{X},$ et ces matrices peuvent être déterminées par une formule simple.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Note : ce ne sont pas des matrices densité en général — c'est seulement quand elles sont assemblées pour former $\rho$ qu'on obtient une matrice densité.

L'équation suivante décrit l'état de $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ obtenu lorsque $\Phi$ est appliqué à $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Remarque : pour évaluer cette expression pour un choix donné de $\Phi$ et $\rho,$ il faut comprendre comment $\Phi$ fonctionne comme une application linéaire sur des entrées qui ne sont pas des matrices densité, car chaque $\rho_{a,b}$ ne sera généralement pas une matrice densité à part entière. L'équation est cohérente avec l'expression $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ dans laquelle $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ désigne le canal identité sur le système $\mathsf{Z}.$ Cela suppose qu'on a étendu la notion de produit tensoriel aux applications linéaires de matrices vers des matrices, ce qui est direct — mais ce n'est pas vraiment essentiel à cette leçon et ne sera pas expliqué davantage.

En réitérant ce qui a été dit ci-dessus, pour qu'une application linéaire $\Phi$ soit un canal valide, il faut que, pour tout choix de $\mathsf{Z}$ et toute matrice densité $\rho$ de la paire $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ on obtienne toujours une matrice densité lorsque $\Phi$ est appliqué à $\mathsf{X}.$ En termes mathématiques, les propriétés qu'une application doit posséder pour être un canal sont qu'elle doit être préservant la trace — de sorte que la matrice obtenue en appliquant le canal ait une trace égale à un — ainsi que complètement positive — de sorte que la matrice résultante soit semi-définie positive. Ce sont deux propriétés importantes qui peuvent être considérées et étudiées séparément, mais il n'est pas essentiel pour cette leçon de les considérer de façon isolée.

Il existe en fait des applications linéaires qui produisent toujours une matrice densité en entrée d'une matrice densité, mais qui échouent à transformer des matrices densité en matrices densité pour des systèmes composés, de sorte qu'on élimine ainsi certaines applications linéaires de la classe des canaux. (L'application linéaire donnée par la transposition matricielle est l'exemple le plus simple.)

On dispose d'une formule analogue à celle ci-dessus dans le cas où les deux systèmes $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Z}$ sont échangés, de sorte que $\Phi$ est appliqué au système de gauche plutôt qu'à celui de droite.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Cela suppose que $\rho$ est un état de $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ plutôt que de $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ Cette fois, la description par matrice par blocs ne fonctionne pas parce que les matrices $\rho_{a,b}$ ne se trouvent pas dans des lignes et des colonnes consécutives de $\rho,$ mais c'est la même structure mathématique sous-jacente.

Toute application linéaire satisfaisant l'exigence de toujours transformer des matrices densité en matrices densité, même lorsqu'elle est appliquée à une seule partie d'un système composé, représente un canal valide. Ainsi, dans un sens abstrait, la notion de canal est déterminée par la notion de matrice densité, combinée à l'hypothèse que les canaux agissent linéairement. À cet égard, les canaux sont analogues aux opérations unitaires dans la formulation simplifiée de l'information quantique, qui sont précisément les applications linéaires transformant toujours des vecteurs d'état quantiques en vecteurs d'état quantiques pour un système donné ; ainsi qu'aux opérations probabilistes (représentées par des matrices stochastiques) dans la formulation classique standard de l'information, qui sont précisément les applications linéaires transformant toujours des vecteurs de probabilité en vecteurs de probabilité.

Les opérations unitaires comme canaux

Supposons que $\mathsf{X}$ soit un système et que $U$ soit une matrice unitaire représentant une opération sur $\mathsf{X}.$ Le canal $\Phi$ qui décrit cette opération sur les matrices densité est défini comme suit pour toute matrice densité $\rho$ représentant un état quantique de $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Cette action, où on multiplie par $U$ à gauche et par $U^{\dagger}$ à droite, est communément appelée conjugaison par la matrice $U.$

Cette description est cohérente avec le fait que la matrice densité représentant un vecteur d'état quantique donné $\vert\psi\rangle$ est $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ En particulier, si l'opération unitaire $U$ est effectuée sur $\vert\psi\rangle,$ alors l'état de sortie est représenté par le vecteur $U\vert\psi\rangle,$ et donc la matrice densité décrivant cet état est égale à

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Une fois qu'on sait que, comme canal, l'opération $U$ a l'action $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ sur les états purs, on peut conclure par linéarité qu'elle doit fonctionner comme spécifié par l'équation $(1)$ ci-dessus pour toute matrice densité $\rho.$

Le canal particulier qu'on obtient quand on prend $U = \mathbb{I}$ est le canal identité$\;\operatorname{Id},$ auquel on peut aussi ajouter un indice (comme $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ que nous avons déjà rencontré) quand on souhaite indiquer explicitement sur quel système ce canal agit. Sa sortie est toujours égale à son entrée : $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Cela peut ne pas sembler être un canal intéressant, mais c'est en réalité un canal très important — et il est approprié que ce soit notre premier exemple. Le canal identité est le canal parfait dans certains contextes, représentant une mémoire idéale ou une transmission parfaite et sans bruit d'information d'un émetteur vers un récepteur.

Chaque canal défini par une opération unitaire de cette façon est bien un canal valide : la conjugaison par une matrice $U$ nous donne une application linéaire ; et si $\rho$ est une matrice densité d'un système $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ et $U$ est unitaire, alors le résultat, qu'on peut exprimer comme

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

est aussi une matrice densité. Plus précisément, cette matrice doit être semi-définie positive, car si $\rho = M^{\dagger} M$ alors

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

pour $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ et elle doit avoir une trace unitaire par la propriété cyclique de la trace.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Combinaisons convexes de canaux

Supposons qu'on ait deux canaux, $\Phi_0$ et $\Phi_1,$ partageant le même système d'entrée et le même système de sortie. Pour tout nombre réel $p\in[0,1],$ on pourrait décider d'appliquer $\Phi_0$ avec probabilité $p$ et $\Phi_1$ avec probabilité $1-p,$ ce qui nous donne un nouveau canal qui peut s'écrire $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ Explicitement, la façon dont ce canal agit sur une matrice densité donnée est spécifiée par l'équation simple suivante.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Plus généralement, si on a des canaux $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ et un vecteur de probabilité $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ on peut faire la moyenne de ces canaux pour obtenir un nouveau canal.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

C'est une combinaison convexe de canaux, et on obtient toujours un canal valide par ce procédé. Une façon simple de l'exprimer en termes mathématiques est que, pour un choix donné de système d'entrée et de sortie, l'ensemble de tous les canaux est un ensemble convexe.

À titre d'exemple, on pourrait choisir d'appliquer l'une d'une collection d'opérations unitaires à un certain système. On obtient ce qu'on appelle un canal unitaire mixte, c'est-à-dire un canal pouvant s'exprimer sous la forme suivante.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Les canaux unitaires mixtes pour lesquels toutes les opérations unitaires sont des matrices de Pauli (ou des produits tensoriels de matrices de Pauli) sont appelés canaux de Pauli et sont fréquemment rencontrés en calcul quantique.

Exemples de canaux de qubit

Nous allons maintenant examiner quelques exemples spécifiques de canaux qui ne sont pas unitaires. Pour tous ces exemples, les systèmes d'entrée et de sortie sont tous deux des qubits simples, ce qui signifie que ce sont des exemples de canaux de qubit.

Le canal de réinitialisation de qubit

Ce canal fait quelque chose de très simple : il réinitialise un qubit dans l'état $\vert 0\rangle.$ Comme application linéaire, ce canal peut s'exprimer de la façon suivante pour toute matrice densité de qubit $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Bien que la trace de toute matrice densité $\rho$ soit égale à $1,$ écrire le canal de cette façon rend clair qu'il s'agit d'une application linéaire qui pourrait être appliquée à n'importe quelle matrice $2\times 2,$ et pas seulement à une matrice densité. Comme nous l'avons déjà observé, il faut comprendre comment les canaux fonctionnent comme applications linéaires sur des entrées qui ne sont pas des matrices densité pour décrire ce qui se passe quand ils sont appliqués à une seule partie d'un système composé.

Par exemple, supposons que $\mathsf{A}$ et $\mathsf{B}$ soient des qubits et que la paire $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se trouve dans l'état de Bell $\vert \phi^+\rangle.$ Comme matrice densité, cet état est donné par

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

En notation de Dirac, on peut aussi exprimer cet état comme suit.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

En appliquant le canal de réinitialisation de qubit à $\mathsf{A}$ et en ne faisant rien à $\mathsf{B},$ on obtient l'état suivant.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

On pourrait être tenté de dire que la réinitialisation de $\mathsf{A}$ a eu un effet sur $\mathsf{B},$ le rendant complètement mélangé — mais en un certain sens c'est l'inverse. Avant la réinitialisation de $\mathsf{A},$ l'état réduit de $\mathsf{B}$ était l'état complètement mélangé, et cela ne change pas suite à la réinitialisation de $\mathsf{A}.$

Le canal complètement déphasant

Voici un exemple de canal de qubit appelé $\Delta,$ décrit par son action sur les matrices $2\times 2$ :

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

En mots, $\Delta$ annule les entrées hors diagonale d'une matrice $2\times 2.$ Cet exemple peut être généralisé à des systèmes arbitraires, par opposition aux qubits : quelle que soit la matrice densité en entrée, le canal annule toutes les entrées hors diagonale et laisse la diagonale inchangée.

Ce canal est appelé le canal complètement déphasant, et on peut le considérer comme représentant une forme extrême du processus connu sous le nom de décohérence — qui détruit essentiellement les superpositions quantiques et les transforme en états probabilistes classiques.

Une autre façon de penser à ce canal est qu'il décrit une mesure dans la base standard sur un qubit, où un qubit d'entrée est mesuré puis mis au rebut, et où la sortie est une matrice densité décrivant le résultat de la mesure. Alternativement, mais de façon équivalente, on peut imaginer que le résultat de la mesure est mis au rebut, laissant le qubit dans son état post-mesure.

Considérons à nouveau un e-bit, et voyons ce qui se passe quand $\Delta$ est appliqué à un seul des deux qubits. Plus précisément, nous avons des qubits $\mathsf{A}$ et $\mathsf{B}$ pour lesquels $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ est dans l'état $\vert\phi^+\rangle,$ et cette fois appliquons le canal au second qubit. Voici l'état qu'on obtient.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

On peut aussi exprimer cette équation à l'aide de matrices par blocs.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

On peut aussi considérer un canal de qubit qui ne déphasе qu'un peu le qubit, par opposition à un déphasage complet, ce qui représente une forme de décohérence moins extrême que celle représentée par le canal complètement déphasant. En particulier, supposons que $\varepsilon \in (0,1)$ soit un petit nombre réel non nul. On peut définir un canal

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

qui transforme une matrice densité de qubit donnée $\rho$ ainsi :

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

C'est-à-dire que rien ne se passe avec probabilité $1-\varepsilon,$ et avec probabilité $\varepsilon,$ le qubit se déphasе. En termes de matrices, cette action peut s'exprimer comme suit, où les entrées diagonales sont laissées inchangées et les entrées hors diagonale sont multipliées par $1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Le canal complètement dépolarisant

Voici un autre exemple de canal de qubit appelé $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Ici $\mathbb{I}$ désigne la matrice identité $2\times 2.$ En mots, pour toute matrice densité d'entrée $\rho,$ le canal $\Omega$ produit l'état complètement mélangé. On ne peut pas faire plus bruité que ça ! Ce canal est appelé le canal complètement dépolarisant, et comme le canal complètement déphasant, il peut être généralisé à des systèmes arbitraires à la place des qubits.

On peut aussi considérer une variante moins extrême de ce canal où la dépolarisation se produit avec probabilité $\varepsilon,$ similaire à ce qu'on a vu pour le canal déphasant.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$