Représentations de canaux

Ensuite, nous discuterons des représentations mathématiques des canaux.

Les applications linéaires de vecteurs à vecteurs peuvent être représentées par des matrices de manière habituelle, où l'action de l'application linéaire est décrite par la multiplication matrice-vecteur. Mais les canaux sont des applications linéaires de matrices à matrices, pas de vecteurs à vecteurs. Alors, en général, comment pouvons-nous exprimer les canaux en termes mathématiques ?

Pour certains canaux, il peut exister une formule simple qui les décrit, comme dans les trois exemples de canaux de qubit non-unitaires décrits précédemment. Mais un canal arbitraire peut ne pas avoir une formule si élégante, il n'est donc pas pratique en général d'exprimer un canal de cette manière.

À titre de comparaison, dans la formulation simplifiée de l'information quantique, nous utilisons des matrices unitaires pour représenter les opérations sur les vecteurs d'état quantique : toute matrice unitaire représente une opération valide et toute opération valide peut être exprimée comme une matrice unitaire. En essence, la question posée est : comment pouvons-nous faire quelque chose d'analogue pour les canaux ?

Pour répondre à cette question, nous aurons besoin d'une machinerie mathématique supplémentaire. Nous verrons que les canaux peuvent, en fait, être décrits mathématiquement de plusieurs manières différentes, y compris des représentations nommées en l'honneur de trois individus qui ont joué un rôle clé dans leur développement : Stinespring, Kraus, et Choi. Ensemble, ces différentes façons de décrire les canaux offrent différents angles à partir desquels ils peuvent être vus et analysés.

Représentations de Stinespring

Les représentations de Stinespring sont basées sur l'idée que chaque canal peut être implémenté de manière standard, où un système d'entrée est d'abord combiné avec un système d'espace de travail initialisé, formant un système composé ; puis une opération unitaire est effectuée sur le système composé ; et finalement le système d'espace de travail est écarté (on prend la trace partielle sur ce système), laissant la sortie du canal.

La figure suivante représente une telle implémentation, sous forme de diagramme de circuit, pour un canal dont les systèmes d'entrée et de sortie sont le même système, $\mathsf{X}.$

Dans ce diagramme, les câbles représentent des systèmes arbitraires, comme l'indiquent les étiquettes au-dessus des câbles, et pas nécessairement des qubits individuels. De plus, le symbole de terre couramment utilisé en génie électrique indique explicitement que $\mathsf{W}$ est supprimé.

En mots, le fonctionnement de l'implémentation est le suivant. Le système d'entrée $\mathsf{X}$ commence dans un certain état $\rho$, tandis qu'un système d'espace de travail $\mathsf{W}$ est initialisé à l'état de base standard $\vert 0\rangle$. Une opération unitaire $U$ est effectuée sur la paire $(\mathsf{W},\mathsf{X})$, et finalement on prend la trace partielle sur le système d'espace de travail $\mathsf{W}$, laissant $\mathsf{X}$ comme sortie.

Note que nous supposons que $0$ est un état classique de $\mathsf{W}$, et nous le choisissons comme l'état initialisé de ce système, ce qui aide à simplifier les mathématiques. Cependant, on pourrait choisir n'importe quel état pur fixe pour représenter l'état initialisé de $\mathsf{W}$ sans changer les propriétés de base de la représentation.

L'expression mathématique du canal résultant, $\Phi,$ est la suivante.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Comme d'habitude, nous utilisons la convention d'ordre de Qiskit : le système $\mathsf{X}$ est en haut dans le diagramme et, par conséquent, correspond au facteur tensoriel du côté droit dans la formule.

En général, les systèmes d'entrée et de sortie d'un canal n'ont pas besoin d'être les mêmes. Voici une figure représentant l'implémentation d'un canal $\Phi$ dont le système d'entrée est $\mathsf{X}$ et dont le système de sortie est $\mathsf{Y}$.

Cette fois, l'opération unitaire transforme $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ en une paire $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$, où $\mathsf{G}$ est un nouveau système « déchet » sur lequel on prend la trace partielle, laissant $\mathsf{Y}$ comme système de sortie. Pour que $U$ soit unitaire, elle doit être une matrice carrée. Cela nécessite que la paire $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ ait le même nombre d'états classiques que la paire $(\mathsf{W},\mathsf{X})$, donc les systèmes $\mathsf{W}$ et $\mathsf{G}$ doivent être choisis d'une manière qui permet cela.

Nous obtenons une expression mathématique du canal résultant, $\Phi,$ similaire à ce que nous avions auparavant.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Quand un canal est décrit de cette manière, comme une opération unitaire avec une spécification de la façon dont le système d'espace de travail est initialisé et comment le système de sortie est sélectionné, nous disons qu'il est exprimé en forme de Stinespring ou que c'est une représentation de Stinespring du canal.

Il n'est pas du tout évident, mais chaque canal a en fait une représentation de Stinespring, comme nous le verrons à la fin de la leçon. Nous verrons également que les représentations de Stinespring ne sont pas uniques ; il y aura toujours différentes façons d'implémenter le même canal de la manière décrite.

Remarque

Dans le contexte de l'information quantique, le terme représentation de Stinespring fait couramment référence à une expression un peu plus générale d'un canal ayant la forme

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

pour une isométrie $A$, qui est une matrice dont les colonnes sont orthonormales mais qui peut ne pas être une matrice carrée. Pour les représentations de Stinespring ayant la forme que nous avons adoptée comme définition, nous pouvons obtenir une expression de cette autre forme en prenant

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

Canal complètement déphasant

Voici une représentation de Stinespring du canal de déphasage de qubit $\Delta$. Dans ce diagramme, les deux câbles représentent des qubits individuels — il s'agit donc d'un diagramme de circuit quantique ordinaire.

Pour voir que l'effet que ce circuit a sur le qubit d'entrée est en effet décrit par le canal complètement déphasant, nous pouvons parcourir le circuit étape par étape, en utilisant la représentation matricielle explicite de la trace partielle discutée dans la leçon précédente. Nous appellerons le qubit supérieur $\mathsf{X}$ — c'est l'entrée et la sortie du canal — et nous supposerons que $\mathsf{X}$ commence dans un état arbitraire $\rho$.

La première étape est l'introduction d'un qubit d'espace de travail, $\mathsf{W}.$ Avant la réalisation de la porte NOT contrôlée, l'état de la paire $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ est représenté par la matrice de densité suivante.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Selon la convention d'ordre de Qiskit, le qubit supérieur $\mathsf{X}$ est à droite et le qubit inférieur $\mathsf{W}$ est à gauche. Nous utilisons des matrices de densité plutôt que des vecteurs d'état quantique, mais ils sont tensoriés ensemble de manière similaire à ce qui est fait dans la formulation simplifiée de l'information quantique.

L'étape suivante consiste à effectuer l'opération NOT contrôlée, où $\mathsf{X}$ est le contrôle et $\mathsf{W}$ est la cible. En gardant à l'esprit la convention d'ordre de Qiskit, la représentation matricielle de cette porte est la suivante.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

C'est une opération unitaire, et pour l'appliquer à une matrice de densité, nous la conjuguons par la matrice unitaire. La conjuguée transposée ne change pas cette matrice particulière, donc le résultat est le suivant.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Finalement, la trace partielle est effectuée sur $\mathsf{W}$. En se souvenant de l'action de cette opération sur les matrices $4\times 4$, décrite dans la leçon précédente, nous obtenons la matrice de densité de sortie suivante.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Nous pouvons alternativement calculer la trace partielle en convertissant d'abord en notation de Dirac.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

Tracer le qubit du côté gauche donne la même réponse qu'avant.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

Une façon intuitive de penser à ce circuit est que l'opération NOT contrôlée copie en pratique l'état classique du qubit d'entrée, et quand la copie est jetée, le qubit d'entrée "s'effondre" probabilistement dans l'un des deux états classiques possibles, ce qui équivaut à un déphasage complet.

Canal complètement déphasant (alternative)

Le circuit décrit ci-dessus n'est pas la seule façon d'implémenter le canal complètement déphasant. Voici une autre façon de le faire.

Voici une analyse rapide montrant que cette implémentation fonctionne. Après la réalisation de la porte Hadamard, nous avons cet état à deux qubits en tant que matrice de densité :

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

La porte $\sigma_z$ contrôlée agit par conjugaison comme suit.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Finalement, on prend la trace partielle sur le système d'espace de travail $\mathsf{W}$.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Cette implémentation est basée sur une idée simple : le déphasage équivaut soit à ne rien faire (c'est-à-dire à appliquer une opération identité) ou à appliquer une porte $\sigma_z$, chacune avec probabilité $1/2$.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

C'est-à-dire que le canal complètement déphasant est un exemple de canal mixte-unitaire et, plus spécifiquement, un canal de Pauli.

Canal de réinitialisation de qubit

Le canal de réinitialisation de qubit peut être implémenté comme suit.

La porte de permutation déplace simplement l'état initialisé $\vert 0\rangle$ du qubit d'espace de travail afin qu'il soit en sortie, tandis que l'état d'entrée $\rho$ est déplacé au qubit inférieur, sur lequel on prend ensuite la trace partielle.

Alternativement, si nous n'exigeons pas que la sortie du canal reste en haut, nous pouvons prendre ce circuit très simple comme notre représentation.

En d'autres termes, réinitialiser un qubit à l'état $\vert 0\rangle$ équivaut à jeter le qubit et en obtenir un nouveau.

Représentations de Kraus

Maintenant, nous discuterons des représentations de Kraus, qui offrent un moyen formulaire pratique d'exprimer l'action d'un canal par la multiplication et l'addition de matrices. En particulier, une représentation de Kraus est une spécification d'un canal, $\Phi,$ sous la forme suivante.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Ici, $A_0,\ldots,A_{N-1}$ sont des matrices qui ont toutes les mêmes dimensions : leurs colonnes correspondent aux états classiques du système d'entrée, $\mathsf{X},$ et leurs lignes correspondent aux états classiques du système de sortie, soit $\mathsf{X}$ ou un autre système $\mathsf{Y}.$ Pour que $\Phi$ soit un canal valide, ces matrices doivent satisfaire la condition suivante.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Cette condition est équivalente à la condition que $\Phi$ préserve la trace. L'autre propriété requise d'un canal — la positivité complète — découle de la forme générale de l'équation pour $\Phi$, comme une somme de conjugaisons.

Parfois, il est pratique de nommer les matrices $A_0,\ldots,A_{N-1}$ d'une manière différente. Par exemple, nous pourrions les numéroter en commençant par $1$, ou nous pourrions utiliser les états d'un ensemble d'états classiques arbitraires $\Gamma$ au lieu des nombres en tant qu'indices :

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{où} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Ces différentes manières de nommer ces matrices, appelées matrices de Kraus, sont toutes courantes et peuvent être pratiques dans différentes situations — mais nous utiliserons les noms $A_0,\ldots,A_{N-1}$ dans cette leçon par souci de simplicité.

Le nombre $N$ peut être un entier positif arbitraire, mais il n'a jamais besoin d'être trop grand : si le système d'entrée $\mathsf{X}$ a $n$ états classiques et le système de sortie $\mathsf{Y}$ a $m$ états classiques, alors tout canal de $\mathsf{X}$ à $\mathsf{Y}$ aura toujours une représentation de Kraus pour laquelle $N$ est au plus le produit $nm$.

Canal complètement déphasant

Nous obtenons une représentation de Kraus du canal complètement déphasant en prenant $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ et $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert$.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ces matrices satisfont la condition requise.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Alternativement, nous pouvons prendre $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ et $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z$, de sorte que

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

comme calculé précédemment. Cette fois, la condition requise peut être vérifiée comme suit.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Canal de réinitialisation de qubit

Nous obtenons une représentation de Kraus du canal de réinitialisation de qubit en prenant $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ et $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert$.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

Ces matrices satisfont la condition requise.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Canal complètement dépolarisant

Un moyen d'obtenir une représentation de Kraus pour le canal complètement dépolarisant est de choisir les matrices de Kraus $A_0,\ldots,A_3$ comme suit.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

Pour toute matrice de densité de qubit $\rho$, nous avons alors

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

Une représentation de Kraus alternative est obtenue en choisissant les matrices de Kraus comme suit.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

Pour vérifier que ces matrices de Kraus représentent réellement le canal complètement dépolarisant, observons d'abord comment la conjugaison d'une matrice $2\times 2$ arbitraire par une matrice de Pauli fonctionne.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Cela nous permet de vérifier la justesse de notre représentation de Kraus.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

Cette représentation de Kraus exprime une idée importante : l'état d'un qubit peut être complètement aléatorisé en lui appliquant l'une des quatre matrices de Pauli (y compris la matrice identité) choisie uniformément au hasard. Ainsi, le canal complètement dépolarisant est un autre exemple de canal de Pauli.

Il n'est pas possible de trouver une représentation de Kraus pour le canal complètement dépolarisant $\Omega$ avec trois ou moins de matrices de Kraus ; au moins quatre sont nécessaires pour ce canal.

Canaux unitaires

Si nous avons une matrice unitaire $U$ représentant une opération sur un système $\mathsf{X}$, nous pouvons exprimer l'action de cette opération unitaire en tant que canal :

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

Cette expression est déjà une représentation de Kraus valide du canal $\Phi$ où il se trouve que nous n'avons qu'une seule matrice de Kraus $A_0 = U$. Dans ce cas, la condition requise

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

prend la forme beaucoup plus simple $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$, que nous savons être vraie parce que $U$ est unitaire.

Représentations de Choi

Maintenant, nous discuterons d'une troisième façon de décrire les canaux, à travers la représentation de Choi. La façon dont elle fonctionne est que chaque canal est représenté par une seule matrice connue sous le nom de sa matrice de Choi. Si le système d'entrée a $n$ états classiques et le système de sortie a $m$ états classiques, alors la matrice de Choi du canal aura $nm$ lignes et $nm$ colonnes.

Les matrices de Choi fournissent une représentation fidèle des canaux, ce qui signifie que deux canaux sont les mêmes si et seulement s'ils ont la même matrice de Choi. Une raison pour laquelle c'est important est qu'elle nous offre un moyen de déterminer si deux descriptions différentes correspondent au même canal ou à des canaux différents : nous calculons simplement les matrices de Choi et les comparons pour voir si elles sont égales. En revanche, les représentations de Stinespring et de Kraus ne sont pas uniques de cette manière, comme nous l'avons vu.

Les matrices de Choi sont également utiles dans d'autres égards pour découvrir diverses propriétés mathématiques des canaux.

Définition

Soit $\Phi$ un canal d'un système $\mathsf{X}$ à un système $\mathsf{Y}$, et supposons que l'ensemble des états classiques du système d'entrée $\mathsf{X}$ est $\Sigma$. La représentation de Choi de $\Phi$, notée $J(\Phi)$, est définie par l'équation suivante.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

Si nous supposons que $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ pour un entier positif $n$, alors nous pouvons alternativement exprimer $J(\Phi)$ comme une matrice de blocs :

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

C'est-à-dire que, en tant que matrice de blocs, la matrice de Choi d'un canal a un bloc $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ pour chaque paire $(a,b)$ d'états classiques du système d'entrée, avec les blocs arrangés de manière naturelle.

Remarque que l'ensemble $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ forme une base pour l'espace de toutes les matrices $n\times n.$ Puisque $\Phi$ est linéaire, il s'ensuit que son action peut être récupérée à partir de sa matrice de Choi en prenant des combinaisons linéaires des blocs.

L'état de Choi d'un canal

Une autre façon de penser à la matrice de Choi d'un canal est qu'elle devient une matrice de densité si nous la divisons par $n = \vert\Sigma\vert$. Concentrons-nous sur la situation où $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ par souci de simplicité, et imaginons que nous avons deux copies identiques de $\mathsf{X}$ qui se trouvent ensemble dans l'état intriqué

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

En tant que matrice de densité, cet état est le suivant.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

Si nous appliquons $\Phi$ à la copie de $\mathsf{X}$ du côté droit, nous obtenons la matrice de Choi divisée par $n$.

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

En d'autres termes, à un facteur de normalisation $1/n$ près, la matrice de Choi de $\Phi$ est la matrice de densité que nous obtenons en évaluant $\Phi$ sur une moitié d'une paire maximalement intriquée de systèmes d'entrée, comme le montre la figure suivante.

Remarque en particulier que cela implique que la matrice de Choi d'un canal doit toujours être semidéfinie positive.

Nous voyons également que, puisque le canal $\Phi$ est appliqué uniquement au système droit/supérieur, il ne peut pas affecter l'état réduit du système gauche/inférieur. Dans le cas qui nous occupe, cet état est l'état complètement mixte $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n$, et donc

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

En effaçant le dénominateur $n$ des deux côtés, nous obtenons $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

Nous pouvons alternativement arriver à cette même conclusion en utilisant le fait que les canaux doivent toujours préserver la trace, et donc

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

En résumé, la représentation de Choi $J(\Phi)$ pour tout canal $\Phi$ doit être semidéfinie positive et doit satisfaire

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Comme nous le verrons à la fin de la leçon, ces deux conditions ne sont pas seulement nécessaires mais aussi suffisantes, ce qui signifie que toute application linéaire $\Phi$ de matrices à matrices qui satisfait ces exigences doit, en fait, être un canal.

Canal complètement déphasant

La représentation de Choi du canal complètement déphasant $\Delta$ est

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canal complètement dépolarisant

La représentation de Choi du canal complètement dépolarisant est

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canal de réinitialisation de qubit

La représentation de Choi du canal de réinitialisation de qubit $\Phi$ est

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Le canal identité

La représentation de Choi du canal identité de qubit $\operatorname{Id}$ est

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Remarque en particulier que $J(\operatorname{Id})$ n'est pas la matrice identité. La représentation de Choi ne décrit pas directement l'action d'un canal de la manière habituelle qu'une matrice représente une application linéaire.