Discrimination et tomographie d'états quantiques

Dans la dernière partie de la leçon, nous aborderons brièvement deux tâches liées aux mesures : la discrimination d'états quantiques et la tomographie d'états quantiques.

1. Discrimination d'états quantiques

   Pour la discrimination d'états quantiques, on dispose d'une collection connue d'états quantiques $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ accompagnée de probabilités $p_0,\ldots,p_{m-1}$ associées à ces états. Une façon concise d'exprimer cela est de dire que l'on dispose d'un ensemble

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   d'états quantiques.

   Un nombre $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ est choisi aléatoirement selon les probabilités $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ et le système $\mathsf{X}$ est préparé dans l'état $\rho_a.$ L'objectif est de déterminer, par une mesure de $\mathsf{X}$ seul, quelle valeur de $a$ a été choisie.

   Ainsi, on dispose d'un nombre fini d'alternatives, ainsi qu'un a priori — c'est-à-dire notre connaissance de la probabilité que chaque $a$ soit sélectionné — et le but est de déterminer laquelle de ces alternatives s'est réellement produite. Cela peut être facile pour certains choix d'états et de probabilités, et pour d'autres, il peut être impossible d'éviter toute erreur.

2. Tomographie d'états quantiques

   Pour la tomographie d'états quantiques, on dispose d'un état quantique inconnu d'un système — contrairement à la discrimination d'états quantiques, il n'y a donc généralement pas d'a priori ni d'information sur les alternatives possibles.

   Cette fois, cependant, ce n'est pas une seule copie de l'état qui est disponible, mais plutôt de nombreuses copies indépendantes. C'est-à-dire que $N$ systèmes identiques $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ sont chacun préparés indépendamment dans l'état $\rho$ pour un certain nombre $N$ (potentiellement grand.) L'objectif est de trouver une approximation de l'état inconnu, sous forme de matrice densité, en mesurant les systèmes.

Discriminer entre deux états

Le cas le plus simple de discrimination d'états quantiques est celui où il y a deux états, $\rho_0$ et $\rho_1,$ à discriminer.

Imaginons une situation dans laquelle un bit $a$ est choisi aléatoirement : $a = 0$ avec probabilité $p$ et $a = 1$ avec probabilité $1 - p.$ Un système $\mathsf{X}$ est préparé dans l'état $\rho_a,$ c'est-à-dire $\rho_0$ ou $\rho_1$ selon la valeur de $a,$ et nous est remis. Notre objectif est de deviner correctement la valeur de $a$ par une mesure de $\mathsf{X}.$ Plus précisément, nous chercherons à maximiser la probabilité que notre réponse soit correcte.

Une mesure optimale

Une façon optimale de résoudre ce problème commence par une décomposition spectrale d'une différence pondérée entre $\rho_0$ et $\rho_1,$ où les poids sont les probabilités correspondantes.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Remarque : on a ici un signe moins plutôt qu'un signe plus : il s'agit d'une différence pondérée et non d'une somme pondérée.

On peut maximiser la probabilité d'une réponse correcte en choisissant une mesure projective $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ de la façon suivante. Commençons par partitionner les éléments de $\{0,\ldots,n-1\}$ en deux ensembles disjoints $S_0$ et $S_1$ selon que la valeur propre correspondante de la différence pondérée est positive ou nulle, ou bien strictement négative.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

On peut alors choisir une mesure projective comme suit.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{et}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Il importe peu dans quel ensemble $S_0$ ou $S_1$ on place les valeurs de $k$ pour lesquelles $\lambda_k = 0.$ Ici, on choisit arbitrairement de les inclure dans $S_0.$)

C'est une mesure optimale dans la situation considérée, qui minimise la probabilité de déterminer incorrectement l'état sélectionné.

Probabilité de succès

Nous allons maintenant déterminer la probabilité de succès de la mesure $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

Pour commencer, il n'est pas nécessaire de se préoccuper du choix spécifique de $\Pi_0$ et $\Pi_1,$ même si le garder en tête peut être utile. Pour toute mesure $\{P_0,P_1\}$ (pas nécessairement projective) on peut écrire la probabilité de succès comme suit.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

En utilisant le fait que $\{P_0,P_1\}$ est une mesure, donc $P_1 = \mathbb{I} - P_0,$ on peut réécrire cette expression ainsi.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

D'un autre côté, on aurait pu effectuer la substitution $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ à la place. Cela ne change pas la valeur, mais cela donne une expression alternative.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Les deux expressions ont la même valeur, on peut donc les moyenner pour obtenir encore une autre expression de cette valeur. (Moyenner les deux expressions est simplement une astuce pour simplifier l'expression résultante.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

On comprend maintenant pourquoi il est judicieux de choisir les projections $\Pi_0$ et $\Pi_1$ (telles que définies ci-dessus) pour $P_0$ et $P_1$ respectivement — c'est de cette façon que l'on peut rendre la trace dans l'expression finale aussi grande que possible. En particulier,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Ainsi, en prenant la trace, on obtient la somme des valeurs absolues des valeurs propres — ce qui est égal à ce qu'on appelle la norme trace de la différence pondérée.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Ainsi, la probabilité que la mesure $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ permette une discrimination correcte de $\rho_0$ et $\rho_1,$ donnés avec les probabilités $p$ et $1-p$ respectivement, est la suivante.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Le fait que ce soit la probabilité optimale de discrimination correcte de $\rho_0$ et $\rho_1,$ donnés avec les probabilités $p$ et $1-p,$ est communément désigné sous le nom de théorème de Helstrom–Holevo (ou parfois simplement théorème de Helstrom).

Discriminer trois états ou plus

Pour la discrimination d'états quantiques lorsqu'il y a trois états ou plus, il n'existe pas de solution analytique connue pour une mesure optimale, bien qu'il soit possible de formuler le problème comme un programme semi-défini — ce qui permet des approximations numériques efficaces des mesures optimales à l'aide d'un ordinateur.

Il est également possible de vérifier (ou réfuter) l'optimalité d'une mesure donnée dans une tâche de discrimination d'états à travers une condition connue sous le nom de condition Holevo-Yuen-Kennedy-Lax. En particulier, pour la tâche de discrimination d'états définie par l'ensemble

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

la mesure $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ est optimale si et seulement si la matrice

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

est positive semi-définie pour tout $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Par exemple, considérons la tâche de discrimination d'états quantiques dans laquelle l'un des quatre états tétraédriques $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ est sélectionné uniformément au hasard. La mesure tétraédrique $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ réussit avec une probabilité de

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

C'est optimal d'après la condition Holevo-Yuen-Kennedy-Lax, comme le montre le calcul suivant :

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

pour $a = 0,1,2,3.$

Tomographie d'états quantiques

Enfin, nous allons brièvement aborder le problème de la tomographie d'états quantiques. Pour ce problème, on dispose d'un grand nombre $N$ de copies indépendantes d'un état quantique inconnu $\rho,$ et l'objectif est de reconstruire une approximation $\tilde{\rho}$ de $\rho.$ Concrètement, cela signifie que l'on souhaite trouver une description classique d'une matrice densité $\tilde{\rho}$ aussi proche que possible de $\rho.$

On peut décrire le dispositif de la façon suivante. Une matrice densité inconnue $\rho$ est sélectionnée, et on dispose d'un accès à $N$ systèmes quantiques $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ chacun ayant été indépendamment préparé dans l'état $\rho.$ Ainsi, l'état du système composé $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ est

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ fois)}$$

L'objectif est d'effectuer des mesures sur les systèmes $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ et, à partir des résultats de ces mesures, de calculer une matrice densité $\tilde{\rho}$ qui approche étroitement $\rho.$ Il s'avère que c'est un problème fascinant qui fait l'objet de recherches actives.

Différents types de stratégies pour aborder ce problème peuvent être envisagés. Par exemple, on peut imaginer une stratégie où chacun des systèmes $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ est mesuré séparément, l'un après l'autre, produisant une suite de résultats de mesure. Différents choix spécifiques de mesures à effectuer peuvent être faits, notamment des sélections adaptatives et non-adaptatives. Autrement dit, le choix de la mesure effectuée sur un système particulier peut ou non dépendre des résultats des mesures précédentes. À partir de la suite de résultats de mesure, une estimation $\tilde{\rho}$ de l'état $\rho$ est calculée — et là aussi, différentes méthodologies existent.

Une approche alternative consiste à effectuer une seule mesure conjointe de l'ensemble de la collection, où l'on considère $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ comme un système unique et où l'on choisit une seule mesure dont le résultat est une estimation $\tilde{\rho}$ de l'état $\rho.$ Cela peut conduire à une estimation améliorée par rapport à ce qui est possible avec des mesures séparées des systèmes individuels, bien qu'une mesure conjointe de tous les systèmes ensemble soit vraisemblablement bien plus difficile à mettre en œuvre.

Tomographie de qubit par mesures de Pauli

Nous allons maintenant considérer la tomographie d'états quantiques dans le cas simple où $\rho$ est une matrice densité de qubit. Nous supposons qu'on dispose de qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ chacun indépendamment dans l'état $\rho,$ et notre objectif est de calculer une approximation $\tilde{\rho}$ proche de $\rho.$

Notre stratégie consiste à diviser les $N$ qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ en trois collections de taille à peu près égale, une pour chacune des trois matrices de Pauli $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ et $\sigma_z.$ Chaque qubit est ensuite mesuré indépendamment de la façon suivante.

1. Pour chacun des qubits de la collection associée à $\sigma_x$, on effectue une mesure $\sigma_x$. Cela signifie que le qubit est mesuré par rapport à la base $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ qui est une base orthonormée de vecteurs propres de $\sigma_x,$ et les résultats de mesure correspondants sont les valeurs propres associées aux deux vecteurs propres : $+1$ pour l'état $\vert + \rangle$ et $-1$ pour l'état $\vert -\rangle.$ En moyennant les résultats sur tous les états de la collection associée à $\sigma_x,$ on obtient une approximation de la valeur d'espérance

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Pour chacun des qubits de la collection associée à $\sigma_y$, on effectue une mesure $\sigma_y$. Une telle mesure est similaire à une mesure $\sigma_x,$ sauf que la base de mesure est $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\},$ les vecteurs propres de $\sigma_y.$ En moyennant les résultats sur tous les états de la collection associée à $\sigma_y,$ on obtient une approximation de la valeur d'espérance

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Pour chacun des qubits de la collection associée à $\sigma_z$, on effectue une mesure $\sigma_z$. Cette fois, la base de mesure est la base standard $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ les vecteurs propres de $\sigma_z.$ En moyennant les résultats sur tous les états de la collection associée à $\sigma_z,$ on obtient une approximation de la valeur d'espérance

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Une fois qu'on a obtenu les approximations

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

en moyennant les résultats de mesure pour chaque collection, on peut approximer $\rho$ par

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

Dans la limite où $N$ tend vers l'infini, cette approximation converge en probabilité vers la vraie matrice densité $\rho$ d'après la loi des grands nombres, et des bornes statistiques bien connues (comme l'inégalité de Hoeffding) peuvent être utilisées pour borner la probabilité que l'approximation $\tilde{\rho}$ s'écarte de $\rho$ de différentes amplitudes.

Il est cependant important de noter que la matrice $\tilde{\rho}$ obtenue de cette façon peut ne pas être une matrice densité. En particulier, bien qu'elle ait toujours une trace égale à $1,$ elle peut ne pas être positive semi-définie. Il existe différentes stratégies connues pour « arrondir » une telle approximation $\tilde{\rho}$ en une matrice densité, l'une d'elles consistant à calculer une décomposition spectrale, à remplacer les valeurs propres négatives par $0,$ puis à renormaliser (en divisant la matrice obtenue par sa trace).

Tomographie de qubit par la mesure tétraédrique

Une autre option pour effectuer la tomographie de qubit est de mesurer chaque qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ en utilisant la mesure tétraédrique $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ décrite précédemment. C'est-à-dire,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

pour

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Chaque résultat est obtenu un certain nombre de fois, que l'on notera $n_a$ pour chaque $a\in\{0,1,2,3\},$ de sorte que $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ Le rapport de ces nombres avec $N$ fournit une estimation de la probabilité associée à chaque résultat possible :

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Enfin, nous allons utiliser la remarquable formule suivante :

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Pour établir cette formule, on peut utiliser l'équation suivante pour les valeurs absolues au carré des produits internes des états tétraédriques, qui peut être vérifiée par des calculs directs.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Les quatre matrices

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

sont linéairement indépendantes, il suffit donc de prouver que la formule est vraie lorsque $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ pour $b = 0,1,2,3.$ En particulier,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

et donc

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

On obtient ainsi une approximation de $\rho$ :

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Cette approximation sera toujours une matrice hermitienne de trace égale à un, mais elle peut ne pas être positive semi-définie. Dans ce cas, l'approximation doit être « arrondie » en une matrice densité, de façon similaire à la stratégie impliquant les mesures de Pauli.