Théorème de Naimark

Le théorème de Naimark est un fait fondamental concernant les mesures. Il stipule que toute mesure générale peut être implémentée d'une façon simple qui rappelle les représentations de Stinespring des canaux :

1. Le système à mesurer est d'abord combiné avec un système d'espace de travail initialisé, formant un système composé.
2. Une opération unitaire est ensuite effectuée sur le système composé.
3. Enfin, le système d'espace de travail est mesuré par rapport à une mesure dans la base standard, donnant le résultat de la mesure générale originale.

Énoncé du théorème et preuve

Soit $\mathsf{X}$ un système et soit $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ une collection de matrices semi-définies positives satisfaisant

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

c'est-à-dire qu'elles décrivent une mesure de $\mathsf{X}.$ Soit aussi $\mathsf{Y}$ un système dont l'ensemble d'états classiques est $\{0,\ldots,m-1\},$ qui est l'ensemble des résultats possibles de cette mesure.

Le théorème de Naimark stipule qu'il existe une opération unitaire $U$ sur le système composé $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ de sorte que l'implémentation suggérée par la figure suivante donne des résultats de mesure qui concordent avec la mesure donnée $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ ce qui signifie que les probabilités des différents résultats de mesure possibles sont précisément en accord.

Pour être clair, le système $\mathsf{X}$ commence dans un état arbitraire $\rho$ tandis que $\mathsf{Y}$ est initialisé à l'état $\vert 0\rangle.$ L'opération unitaire $U$ est appliquée à $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ et ensuite le système $\mathsf{Y}$ est mesuré par une mesure dans la base standard, donnant un résultat $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Le système $\mathsf{X}$ est représenté comme faisant partie de la sortie du circuit, mais pour l'instant nous ne nous préoccuperons pas de l'état de $\mathsf{X}$ après que $U$ est effectuée, et nous pouvons imaginer qu'il est tracé. Nous nous intéresserons à l'état de $\mathsf{X}$ après que $U$ est effectuée plus tard dans la leçon, cependant.

Une implémentation d'une mesure de cette façon rappelle clairement une représentation de Stinespring d'un canal, et les fondements mathématiques sont similaires aussi. La différence ici est que le système d'espace de travail est mesuré plutôt que tracé comme dans le cas d'une représentation de Stinespring.

Le fait que toute mesure peut être implémentée de cette façon est assez simple à prouver, mais nous avons d'abord besoin d'un fait concernant les matrices semi-définies positives.

Fait

Suppose que $P$ est une matrice semi-définie positive $n \times n$. Il existe une unique matrice semi-définie positive $n\times n$ $Q$ pour laquelle $Q^2 = P.$ Cette unique matrice semi-définie positive est appelée la racine carrée de $P$ et est notée $\sqrt{P}.$

Un moyen de trouver la racine carrée d'une matrice semi-définie positive est de calculer d'abord une décomposition spectrale.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Comme $P$ est semi-définie positive, ses valeurs propres doivent être des nombres réels non négatifs, et en les remplaçant par leurs racines carrées, on obtient une expression pour la racine carrée de $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Ce concept en main, nous sommes prêts à prouver le théorème de Naimark. En supposant que $\mathsf{X}$ a $n$ états classiques, une opération unitaire $U$ sur la paire $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ peut être représentée par une matrice $nm\times nm,$ que nous pouvons voir comme une matrice par blocs $m\times m$ dont les blocs sont $n\times n.$ La clé de la preuve est de prendre $U$ comme toute matrice unitaire correspondant au motif suivant.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Pour qu'il soit possible de remplir les blocs marqués d'un point d'interrogation de sorte que $U$ soit unitaire, il est à la fois nécessaire et suffisant que les $n$ premières colonnes, formées par les blocs $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ soient orthonormées. On peut ensuite utiliser le processus d'orthogonalisation de Gram-Schmidt pour remplir les colonnes restantes, tout comme nous l'avons rencontré dans la leçon précédente.

Les $n$ premières colonnes de $U$ peuvent être exprimées comme des vecteurs de la façon suivante, où $c = 0,\ldots,n-1$ désigne le numéro de colonne à partir de $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Nous pouvons calculer le produit intérieur entre deux quelconques d'entre eux comme suit.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Cela montre que ces colonnes sont en fait orthonormées, donc nous pouvons remplir les colonnes restantes de $U$ d'une manière qui garantit que la matrice entière est unitaire.

Il reste à vérifier que les probabilités de résultats de mesure pour la simulation sont cohérentes avec la mesure originale. Pour un état initial donné $\rho$ de $\mathsf{X},$ la mesure décrite par la collection $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ donne chaque résultat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ avec probabilité $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Pour obtenir les probabilités de résultats pour la simulation, donnons d'abord le nom $\sigma$ à l'état de $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ après que $U$ a été effectuée. Cet état peut être exprimé comme suit.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

De manière équivalente, sous forme de matrice par blocs, nous avons l'équation suivante.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Remarque : les entrées de $U$ tombant dans les blocs marqués d'un point d'interrogation n'ont aucune influence sur le résultat en vertu du fait que nous conjuguons une matrice de la forme $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — ainsi les entrées des points d'interrogation sont toujours multipliées par des entrées nulles de $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ lors du calcul du produit matriciel.

Maintenant, nous pouvons analyser ce qui se passe lorsqu'une mesure dans la base standard est effectuée sur $\mathsf{Y}.$ Les probabilités des résultats possibles sont données par les entrées diagonales de l'état réduit $\sigma_{\mathsf{Y}}$ de $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

En particulier, en utilisant la propriété cyclique de la trace, nous voyons que la probabilité d'obtenir un résultat donné $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ est la suivante.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Cela correspond à la mesure originale, établissant la correction de la simulation.

Mesures non destructives

Jusqu'à présent dans cette leçon, nous nous sommes préoccupés des mesures destructives, où la sortie consiste uniquement en le résultat classique de la mesure sans spécification de l'état quantique post-mesure du système mesuré.

Les mesures non destructives, en revanche, font précisément cela. Plus précisément, les mesures non destructives décrivent non seulement les probabilités des résultats classiques de mesure, mais aussi l'état du système mesuré conditionné sur chaque résultat de mesure possible. Remarque : le terme non destructive fait référence au système mesuré mais pas nécessairement à son état, qui pourrait changer significativement à la suite de la mesure.

En général, pour une mesure destructive donnée, il existera plusieurs (en fait infiniment nombreuses) mesures non destructives qui sont compatibles avec la mesure destructive donnée, ce qui signifie que les probabilités de résultats classiques de mesure correspondent précisément à la mesure destructive. Il n'y a donc pas de façon unique de définir l'état quantique post-mesure d'un système pour une mesure donnée.

Il est en fait possible de généraliser davantage les mesures non destructives, de sorte qu'elles produisent un résultat classique de mesure ainsi qu'un état quantique de sortie d'un système qui n'est pas nécessairement le même que le système d'entrée.

La notion de mesure non destructive est une abstraction intéressante et utile. Il faut cependant reconnaître que les mesures non destructives peuvent toujours être décrites comme des compositions de canaux et de mesures destructives — il y a donc un sens dans lequel la notion de mesure destructive est la plus fondamentale.

À partir du théorème de Naimark

Considère la simulation d'une mesure générale comme dans le théorème de Naimark. Un moyen simple d'obtenir une mesure non destructive à partir de cette simulation est révélé par la figure précédente, où le système $\mathsf{X}$ n'est pas tracé, mais fait partie de la sortie. Cela donne à la fois un résultat classique de mesure $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ ainsi qu'un état quantique post-mesure de $\mathsf{X}.$

Décrivons ces états en termes mathématiques. Nous supposons que l'état initial de $\mathsf{X}$ est $\rho,$ de sorte qu'après l'introduction du système initialisé $\mathsf{Y}$ et l'application de $U,$ $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ est dans l'état

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Les probabilités des différents résultats classiques sont les mêmes qu'avant — elles ne peuvent pas changer en raison de notre décision d'ignorer ou non $\mathsf{X}.$ C'est-à-dire que l'on obtient chaque $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ avec probabilité $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Conditionné à l'obtention d'un résultat de mesure particulier $a,$ l'état résultant de $\mathsf{X}$ est donné par cette expression.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Un moyen de voir cela est de représenter une mesure dans la base standard de $\mathsf{Y}$ par le canal complètement déphasant $\Delta_m,$ où la sortie du canal décrit les résultats classiques de mesure comme des matrices densité (diagonales). Une expression de l'état que nous obtenons est la suivante.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Nous pouvons alors écrire cet état comme une combinaison convexe d'états produits,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

ce qui est cohérent avec l'expression que nous avons obtenue pour l'état de $\mathsf{X}$ conditionné sur chaque résultat de mesure possible.

À partir d'une représentation de Kraus

Il existe des sélections alternatives pour $U$ dans le contexte du théorème de Naimark qui produisent les mêmes probabilités de résultats de mesure mais donnent des états de sortie entièrement différents de $\mathsf{X}.$

Par exemple, une option est de substituer $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ à $U,$ où $V$ est toute opération unitaire sur $\mathsf{X}.$ L'application de $V$ à $\mathsf{X}$ commute avec la mesure de $\mathsf{Y}$, donc les probabilités de résultats classiques ne changent pas, mais maintenant l'état de $\mathsf{X}$ conditionné sur le résultat $a$ devient

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Plus généralement, on pourrait remplacer $U$ par la matrice unitaire

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

pour tout choix d'opérations unitaires $V_0,\ldots,V_{m-1}$ sur $\mathsf{X}.$ Encore une fois, les probabilités de résultats classiques sont inchangées, mais maintenant l'état de $\mathsf{X}$ conditionné sur le résultat $a$ devient

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Une façon équivalente d'exprimer cette liberté est liée aux représentations de Kraus. C'est-à-dire que nous pouvons décrire une mesure non destructive à $m$ résultats d'un système ayant $n$ états classiques par une sélection de matrices de Kraus $n\times n$ $A_0,\ldots,A_{m-1}$ satisfaisant la condition typique pour les matrices de Kraus.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

En supposant que l'état initial de $\mathsf{X}$ est $\rho,$ le résultat classique de mesure est $a$ avec probabilité

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

et conditionné sur le résultat $a,$ l'état de $\mathsf{X}$ devient

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Remarque : cela est équivalent à choisir l'opération unitaire $U$ dans le théorème de Naimark comme suit.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Dans la leçon précédente, nous avons observé que les colonnes formées par les blocs $A_0,\ldots,A_{m-1}$ sont nécessairement orthogonales, en vertu de la condition $(1).$

Généralisations

Il existe des façons encore plus générales de formuler les mesures non destructives que les façons dont nous avons discuté. La notion d'instrument quantique (qui ne sera pas décrite ici) représente une façon de le faire.