Sphère de Bloch

Il existe une représentation géométrique utile des états de qubit connue sous le nom de sphère de Bloch. Elle est très pratique, mais malheureusement elle ne fonctionne que pour les qubits — la représentation analogue ne correspond plus à un objet sphérique dès lors qu'on a trois états classiques ou plus dans notre système.

Les états de qubit comme points sur une sphère

Commençons par réfléchir à un vecteur d'état quantique d'un qubit : $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Nous pouvons restreindre notre attention aux vecteurs pour lesquels $\alpha$ est un nombre réel non négatif, car tout vecteur d'état de qubit est équivalent, à une phase globale près, à un vecteur pour lequel $\alpha \geq 0.$ Cela nous permet d'écrire

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

pour deux nombres réels $\theta \in [0,\pi]$ et $\phi\in[0,2\pi).$ Ici, nous autorisons $\theta$ à varier de $0$ à $\pi$ en divisant par $2$ dans l'argument du sinus et du cosinus, car c'est une manière conventionnelle de paramétrer les vecteurs de ce type, et cela simplifiera les choses un peu plus tard.

Or, il n'est pas tout à fait vrai que les nombres $\theta$ et $\phi$ sont uniquement déterminés par un vecteur d'état quantique donné $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ mais c'est presque le cas. En particulier, si $\beta = 0,$ alors $\theta = 0$ et peu importe la valeur que prend $\phi,$ qui peut être choisi arbitrairement. De même, si $\alpha = 0,$ alors $\theta = \pi,$ et encore une fois $\phi$ est sans importance (car notre état est équivalent à $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ pour tout $\phi,$ à une phase globale près). Si, toutefois, ni $\alpha$ ni $\beta$ n'est nul, alors il existe un choix unique pour la paire $(\theta,\phi)$ pour laquelle $\vert\psi\rangle$ est équivalent à $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ à une phase globale près.

Considérons ensuite la représentation en matrice densité de cet état.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Nous pouvons utiliser quelques identités trigonométriques,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

ainsi que la formule $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ pour simplifier la matrice densité comme suit.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Il est alors facile d'exprimer cette matrice densité comme une combinaison linéaire des matrices de Pauli :

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Plus précisément, on conclut que

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Les coefficients de $\sigma_x,$ $\sigma_y$ et $\sigma_z$ au numérateur de cette expression sont tous des nombres réels, si bien qu'on peut les rassembler pour former un vecteur dans un espace euclidien ordinaire à trois dimensions.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

Il s'agit en fait d'un vecteur unitaire. En coordonnées sphériques, il peut s'écrire $(1,\theta,\phi).$ La première coordonnée, $1,$ représente le rayon ou la distance radiale (qui vaut toujours $1$ dans ce cas), $\theta$ représente l'angle polaire et $\phi$ représente l'angle azimutal.

En d'autres termes, en pensant à la sphère comme à la planète Terre, l'angle polaire $\theta$ indique de combien on s'éloigne vers le sud du pôle Nord pour atteindre le point décrit, de $0$ à $\pi = 180^{\circ},$ tandis que l'angle azimutal $\phi$ indique de combien on tourne vers l'est depuis le méridien d'origine, de $0$ à $2\pi = 360^{\circ}.$ On suppose ici que le méridien d'origine est défini comme la courbe sur la surface de la sphère allant d'un pôle à l'autre en passant par l'axe $x$ positif.

Chaque point sur la sphère peut être décrit de cette manière — autrement dit, les points obtenus lorsqu'on parcourt tous les états purs possibles d'un qubit correspondent précisément à une sphère dans $3$ dimensions réelles. (Cette sphère est généralement appelée la 2-sphère unité car la surface de cette sphère est bidimensionnelle.)

Lorsque nous associons des points sur la 2-sphère unité à des états purs de qubits, nous obtenons la représentation par la sphère de Bloch de ces états.

Six exemples importants

1. La base standard $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ Commençons par l'état $\vert 0\rangle.$ En tant que matrice densité, il peut s'écrire ainsi.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   En collectant les coefficients des matrices de Pauli au numérateur, on voit que le point correspondant sur la 2-sphère unité en coordonnées cartésiennes est $(0,0,1).$ En coordonnées sphériques, ce point est $(1,0,\phi),$ où $\phi$ peut être n'importe quel angle. Cela est cohérent avec l'expression

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   qui fonctionne aussi pour tout $\phi.$ Intuitivement, l'angle polaire $\theta$ est nul, donc nous sommes au pôle Nord de la sphère de Bloch, où l'angle azimutal est sans importance.

   De même, la matrice densité de l'état $\vert 1\rangle$ peut s'écrire ainsi.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   Cette fois, les coordonnées cartésiennes sont $(0,0,-1).$ En coordonnées sphériques, ce point est $(1,\pi,\phi)$ où $\phi$ peut être n'importe quel angle. Dans ce cas, l'angle polaire est jusqu'à $\pi,$ donc nous sommes au pôle Sud où l'angle azimutal est de nouveau sans importance.

2. La base $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ Nous avons ces expressions pour les matrices densité correspondant à ces états.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Les points correspondants sur la 2-sphère unité ont les coordonnées cartésiennes $(1,0,0)$ et $(-1,0,0),$ et les coordonnées sphériques $(1,\pi/2,0)$ et $(1,\pi/2,\pi),$ respectivement.

   En d'autres termes, $\vert +\rangle$ correspond au point où l'axe $x$ positif coupe la 2-sphère unité, et $\vert -\rangle$ correspond au point où l'axe $x$ négatif la coupe. Plus intuitivement, $\vert +\rangle$ est sur l'équateur de la sphère de Bloch là où il rencontre le méridien d'origine, et $\vert - \rangle$ est sur l'équateur du côté opposé de la sphère.

3. La base $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ Comme nous l'avons vu plus tôt dans la leçon, ces deux états sont définis ainsi :

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   Cette fois, nous avons ces expressions.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Les points correspondants sur la 2-sphère unité ont les coordonnées cartésiennes $(0,1,0)$ et $(0,-1,0),$ et les coordonnées sphériques $(1,\pi/2,\pi/2)$ et $(1,\pi/2,3\pi/2),$ respectivement.

   En d'autres termes, $\vert {+i} \rangle$ correspond au point où l'axe $y$ positif coupe la 2-sphère unité, et $\vert {-i} \rangle$ au point où l'axe $y$ négatif la coupe.

Voici une autre classe de vecteurs d'état quantique qui est apparue de temps en temps tout au long de cette série, y compris précédemment dans cette leçon.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(pour $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

La représentation en matrice densité de chacun de ces états est la suivante.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

La figure suivante illustre les points correspondants sur la sphère de Bloch pour quelques valeurs de $\alpha.$

Combinaisons convexes de points

De même que ce que nous avons déjà discuté pour les matrices densité, nous pouvons prendre des combinaisons convexes de points sur la sphère de Bloch pour obtenir des représentations de matrices densité de qubit. En général, cela donne des points à l'intérieur de la sphère de Bloch, qui représentent des matrices densité d'états qui ne sont pas purs. Parfois, on parle de boule de Bloch lorsqu'on souhaite être explicite sur l'inclusion des points à l'intérieur de la sphère de Bloch comme représentations de matrices densité de qubit.

Par exemple, nous avons vu que la matrice densité $\frac{1}{2}\mathbb{I},$ qui représente l'état complètement mélangé d'un qubit, peut s'écrire de ces deux façons alternatives :

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{et}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Nous avons aussi

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

et plus généralement, on peut utiliser n'importe quels deux vecteurs d'état de qubit orthogonaux (qui correspondent toujours à deux points antipodaux sur la sphère de Bloch). Si l'on fait la moyenne des points correspondants sur la sphère de Bloch de manière similaire, on obtient le même point, qui dans ce cas se trouve au centre de la sphère. Cela est cohérent avec l'observation que

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

ce qui nous donne les coordonnées cartésiennes $(0,0,0).$

Un autre exemple concernant les combinaisons convexes de points sur la sphère de Bloch est celui discuté dans la sous-section précédente.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

La figure suivante illustre ces deux façons différentes d'obtenir cette matrice densité comme une combinaison convexe d'états purs.