Systèmes multiples et états réduits

Nous allons maintenant nous intéresser au fonctionnement des matrices densité pour les systèmes multiples, avec des exemples des différents types de corrélations qu'elles peuvent exprimer, et à la façon dont elles permettent de décrire les états de parties isolées de systèmes composés.

Systèmes multiples

Les matrices densité peuvent représenter des états de systèmes multiples de manière analogue aux vecteurs d'état dans la formulation simplifiée de l'information quantique, en suivant le même principe de base : plusieurs systèmes peuvent être vus comme un seul système composé. En termes mathématiques, les lignes et colonnes des matrices densité représentant des états de systèmes multiples sont mises en correspondance avec le produit cartésien des ensembles d'états classiques des systèmes individuels.

Par exemple, rappelle-toi les représentations en vecteur d'état des quatre états de Bell.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Les représentations en matrice densité de ces états sont les suivantes.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

États produits

Comme pour les vecteurs d'état, les produits tensoriels de matrices densité représentent l'indépendance entre les états de plusieurs systèmes. Par exemple, si $\mathsf{X}$ est préparé dans l'état représenté par la matrice densité $\rho$ et que $\mathsf{Y}$ est préparé indépendamment dans l'état représenté par $\sigma,$ alors la matrice densité décrivant l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est le produit tensoriel $\rho\otimes\sigma.$

La même terminologie est utilisée ici que dans la formulation simplifiée de l'information quantique : les états de cette forme sont appelés états produits.

États corrélés et états intriqués

Les états qui ne peuvent pas s'exprimer comme des états produits représentent des corrélations entre les systèmes. Il existe en réalité différents types de corrélations que les matrices densité peuvent représenter. En voici quelques exemples.

1. États classiques corrélés. Par exemple, on peut exprimer la situation dans laquelle Alice et Bob partagent un bit aléatoire de la façon suivante :

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Ensembles d'états quantiques. Supposons que l'on dispose de $m$ matrices densité $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ représentant toutes des états d'un système $\mathsf{X},$ et qu'on choisisse aléatoirement l'un de ces états selon un vecteur de probabilités $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Un tel processus est représenté par un ensemble d'états, qui comprend la spécification des matrices densité $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ ainsi que les probabilités $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ On peut associer un ensemble d'états à une seule matrice densité, décrivant à la fois le choix aléatoire de $k$ et la matrice densité correspondante $\rho_k,$ de la façon suivante :

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Pour être précis, il s'agit de l'état d'une paire $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ où $\mathsf{Y}$ représente la sélection classique de $k$ — on suppose donc que son ensemble d'états classiques est $\{0,\ldots,m-1\}.$ Les états de cette forme sont parfois appelés états classiques-quantiques.

3. États séparables. On peut imaginer des situations dans lesquelles on a une corrélation classique entre les états quantiques de deux systèmes, de la forme suivante :

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   En d'autres termes, pour chaque $k$ de $0$ à $m-1,$ avec probabilité $p_k$ le système de gauche est dans l'état $\rho_k$ et le système de droite est dans l'état $\sigma_k.$ Les états de cette forme sont appelés états séparables. Ce concept peut également être étendu à plus de deux systèmes.

4. États intriqués. Tous les états de paires de systèmes ne sont pas séparables. Dans la formulation générale de l'information quantique, c'est ainsi qu'est définie l'intrication : les états qui ne sont pas séparables sont dits intriqués.

   Note que cette terminologie est cohérente avec celle utilisée dans le cours « Bases de l'information quantique ». Nous y disions que les vecteurs d'état quantiques qui ne sont pas des états produits représentent des états intriqués — et en effet, pour tout vecteur d'état quantique $\vert\psi\rangle$ qui n'est pas un état produit, on constate que l'état représenté par la matrice densité $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ n'est pas séparable. L'intrication est bien plus complexe que cela pour les états qui ne sont pas purs.

États réduits et trace partielle

Il y a quelque chose de simple mais d'important que l'on peut faire avec les matrices densité dans le contexte des systèmes multiples : décrire les états que l'on obtient en ignorant certains des systèmes. Lorsque plusieurs systèmes sont dans un état quantique et qu'on écarte ou choisit d'ignorer un ou plusieurs d'entre eux, l'état des systèmes restants est appelé l'état réduit de ces systèmes. Les descriptions en matrice densité des états réduits s'obtiennent facilement via une application appelée trace partielle, qui part de la matrice densité décrivant l'état de l'ensemble.

Exemple : états réduits pour un e-bit

Supposons que l'on dispose d'une paire de qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ensemble dans l'état

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

On peut imaginer qu'Alice détient le qubit $\mathsf{A}$ et Bob détient $\mathsf{B},$ ce qui signifie qu'ensemble ils partagent un e-bit. On souhaite disposer d'une description en matrice densité du qubit $\mathsf{A}$ d'Alice de façon isolée, comme si Bob décidait de prendre son qubit et de partir explorer les étoiles, pour ne plus jamais être vu.

Réfléchissons d'abord à ce qui se passerait si Bob décidait, quelque part dans son voyage, de mesurer son qubit avec une mesure dans la base standard. S'il le faisait, il obtiendrait le résultat $0$ avec probabilité

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

auquel cas l'état du qubit d'Alice devient $\vert 0\rangle$ ; et il obtiendrait le résultat $1$ avec probabilité

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

auquel cas l'état du qubit d'Alice devient $\vert 1\rangle.$

Donc, si on ignore le résultat de la mesure de Bob et qu'on se concentre sur le qubit d'Alice, on conclut qu'elle obtient l'état $\vert 0\rangle$ avec probabilité $1/2$ et l'état $\vert 1\rangle$ avec probabilité $1/2.$ Cela nous amène à décrire l'état du qubit d'Alice de façon isolée par la matrice densité

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

Autrement dit, le qubit d'Alice est dans l'état complètement mélangé. Pour être clair, cette description de l'état du qubit d'Alice n'inclut pas le résultat de la mesure de Bob ; on ignore Bob complètement.

Or, il peut sembler que la description en matrice densité du qubit d'Alice de façon isolée que l'on vient d'obtenir repose sur l'hypothèse que Bob a mesuré son qubit, mais ce n'est pas le cas. Ce qu'on a fait, c'est d'utiliser la possibilité que Bob mesure son qubit pour argumenter que l'état complètement mélangé émerge comme état du qubit d'Alice, sur la base de ce qu'on a déjà appris. Bien sûr, rien n'oblige Bob à mesurer son qubit — mais rien ne dit qu'il ne le fait pas non plus. Et s'il est à des années-lumière, alors rien de ce qu'il fait ou ne fait pas ne peut influencer l'état du qubit d'Alice vu de façon isolée. C'est-à-dire que la description que l'on a obtenue pour l'état du qubit d'Alice est la seule description compatible avec l'impossibilité d'une communication plus rapide que la lumière.

On peut également considérer l'état du qubit $\mathsf{B}$ de Bob, qui se trouve être lui aussi l'état complètement mélangé. En effet, pour les quatre états de Bell, l'état réduit du qubit d'Alice comme celui du qubit de Bob est l'état complètement mélangé.

États réduits pour un vecteur d'état quantique général

Généralisons maintenant l'exemple précédent à deux systèmes arbitraires $\mathsf{A}$ et $\mathsf{B},$ pas nécessairement des qubits dans l'état $\vert \phi^+\rangle.$ On suppose que les ensembles d'états classiques de $\mathsf{A}$ et $\mathsf{B}$ sont respectivement $\Sigma$ et $\Gamma.$ Une matrice densité $\rho$ représentant un état du système composé $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ a donc des indices de ligne et de colonne correspondant au produit cartésien $\Sigma\times\Gamma.$

Supposons que l'état de $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ soit décrit par le vecteur d'état quantique $\vert\psi\rangle,$ de sorte que la matrice densité décrivant cet état est $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ On va obtenir une description en matrice densité de l'état de $\mathsf{A}$ de façon isolée, que l'on note conventionnellement $\rho_{\mathsf{A}}.$ (Un exposant est parfois utilisé à la place d'un indice.)

Le vecteur d'état $\vert\psi\rangle$ peut s'exprimer sous la forme

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

pour une collection de vecteurs $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ uniquement déterminée. En particulier, ces vecteurs peuvent être déterminés par une formule simple.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

En raisonnant de façon analogue à l'exemple précédent de l'e-bit, si on mesurait le système $\mathsf{B}$ avec une mesure dans la base standard, on obtiendrait chaque résultat $b\in\Gamma$ avec probabilité $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ auquel cas l'état de $\mathsf{A}$ devient

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

En tant que matrice densité, cet état peut s'écrire comme suit.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

En moyennant les différents états selon les probabilités des résultats respectifs, on obtient la matrice densité

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

La trace partielle

La formule

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

nous amène à la description de l'état réduit de $\mathsf{A}$ pour toute matrice densité $\rho$ de la paire $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ pas seulement pour un état pur.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Cette formule est nécessairement valide, simplement par linéarité et par le fait que toute matrice densité peut s'écrire comme une combinaison convexe d'états purs.

L'opération effectuée sur $\rho$ pour obtenir $\rho_{\mathsf{A}}$ dans cette équation est connue sous le nom de trace partielle, et plus précisément on dit que la trace partielle est effectuée sur $\mathsf{B},$ ou que $\mathsf{B}$ est dont on a effectué la trace partielle. Cette opération est notée $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ ce qui nous permet d'écrire

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

On peut également définir la trace partielle sur $\mathsf{A},$ de sorte que c'est le système $\mathsf{A}$ qui est tracé plutôt que $\mathsf{B},$ comme ceci.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Cela nous donne la description en matrice densité $\rho_{\mathsf{B}}$ de l'état de $\mathsf{B}$ de façon isolée, plutôt que de $\mathsf{A}.$

Pour récapituler, si $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ est une paire quelconque de systèmes et qu'on dispose d'une matrice densité $\rho$ décrivant un état de $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ les états réduits des systèmes $\mathsf{A}$ et $\mathsf{B}$ sont les suivants.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Si $\rho$ est une matrice densité, alors $\rho_{\mathsf{A}}$ et $\rho_{\mathsf{B}}$ seront nécessairement elles aussi des matrices densité.

Ces notions peuvent être généralisées à un nombre quelconque de systèmes à la place de deux, de façon naturelle. En général, on peut mettre le nom des systèmes de son choix en indice d'une matrice densité $\rho$ pour décrire l'état réduit de ces seuls systèmes. Par exemple, si $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ et $\mathsf{C}$ sont des systèmes et que $\rho$ est une matrice densité décrivant un état de $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ on peut définir

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

et de même pour d'autres choix de systèmes.

Description alternative de la trace partielle

Une autre façon de décrire les applications de trace partielle $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ et $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ est qu'elles sont les uniques applications linéaires satisfaisant les formules

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

Dans ces formules, $N$ et $M$ sont des matrices carrées de tailles appropriées : les lignes et colonnes de $M$ correspondent aux états classiques de $\mathsf{A}$ et les lignes et colonnes de $N$ correspondent aux états classiques de $\mathsf{B}.$

Cette caractérisation de la trace partielle est non seulement fondamentale d'un point de vue mathématique, mais peut aussi permettre des calculs rapides dans certaines situations. Par exemple, considère cet état d'une paire de qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Pour calculer l'état réduit $\rho_{\mathsf{A}}$ par exemple, on peut utiliser la linéarité et le fait que $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ et $\vert +\rangle\langle +\vert$ ont une trace unitaire.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

L'état réduit $\rho_{\mathsf{B}}$ peut être calculé de façon similaire.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

La trace partielle pour deux qubits

La trace partielle peut également être décrite explicitement en termes de matrices. Ici, on va le faire uniquement pour deux qubits, mais cela peut aussi être généralisé à des systèmes plus grands. Supposons qu'on ait deux qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ de sorte que toute matrice densité décrivant un état de ces deux qubits peut s'écrire

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

pour un certain choix de nombres complexes $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

La trace partielle sur le premier système a la formule suivante.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Une façon de comprendre cette formule est de voir les matrices $4\times 4$ comme des matrices $2\times 2$ par blocs, où chaque bloc est $2\times 2.$ C'est-à-dire,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

pour

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

On a alors

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Voici la formule lorsque c'est le deuxième système qui est tracé plutôt que le premier.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

En termes de matrices par blocs d'une forme similaire à celle d'avant, on a la formule suivante.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Les descriptions en matrices par blocs de ces fonctions peuvent être étendues à des systèmes plus grands que les qubits de façon naturelle et directe.

Pour terminer la leçon, appliquons ces formules au même état que celui considéré plus haut.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

L'état réduit du premier système $\mathsf{A}$ est

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

et l'état réduit du deuxième système $\mathsf{B}$ est

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$