Notions de base sur les matrices densité

Nous allons commencer par décrire ce que sont les matrices densité en termes mathématiques, puis nous examinerons quelques exemples. Ensuite, nous aborderons quelques aspects fondamentaux du fonctionnement des matrices densité et de leur lien avec les vecteurs d'état quantiques dans la formulation simplifiée de l'information quantique.

Définition

Supposons que nous ayons un système quantique nommé $\mathsf{X},$ et soit $\Sigma$ l'ensemble des états classiques (fini et non vide) de ce système. Nous reprenons ici les conventions de nommage utilisées dans le cours « Bases de l'information quantique », que nous continuerons à appliquer dès que l'occasion se présentera.

Dans la formulation générale de l'information quantique, un état quantique du système $\mathsf{X}$ est décrit par une matrice densité $\rho$ dont les entrées sont des nombres complexes et dont les indices (pour les lignes comme pour les colonnes) ont été mis en correspondance avec l'ensemble des états classiques $\Sigma.$ La lettre grecque minuscule $\rho$ est le premier choix conventionnel pour nommer une matrice densité, bien que $\sigma$ et $\xi$ soient aussi des choix courants.

Voici quelques exemples de matrices densité décrivant des états de qubits :

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{et}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Dire que $\rho$ est une matrice densité signifie que ces deux conditions, qui seront expliquées dans un moment, sont toutes deux satisfaites :

1. Trace unitaire : $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Semi-définition positive : $\rho \geq 0.$

La trace d'une matrice

La première condition sur les matrices densité fait référence à la trace d'une matrice. Il s'agit d'une fonction définie, pour toutes les matrices carrées, comme la somme des entrées diagonales :

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

La trace est une fonction linéaire : pour deux matrices carrées quelconques $A$ et $B$ de même taille, et deux nombres complexes quelconques $\alpha$ et $\beta,$ l'équation suivante est toujours vraie.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

La trace est une fonction extrêmement importante et il y a beaucoup plus à en dire, mais nous attendrons que le besoin s'en fasse sentir pour aller plus loin.

Matrices semidéfinies positives

La deuxième condition fait référence à la propriété d'une matrice d'être semidéfinie positive, un concept fondamental en théorie de l'information quantique et dans bien d'autres domaines. Une matrice $P$ est semidéfinie positive s'il existe une matrice $M$ telle que

$$P = M^{\dagger} M.$$

Ici, on peut soit exiger que $M$ soit une matrice carrée de même taille que $P$, soit lui permettre d'être non carrée — on obtient la même classe de matrices dans les deux cas.

Il existe plusieurs façons alternatives (mais équivalentes) de définir cette condition, notamment :

• Une matrice $P$ est semidéfinie positive si et seulement si $P$ est hermitienne (c'est-à-dire égale à sa propre transposée conjuguée) et toutes ses valeurs propres sont des nombres réels non négatifs. Vérifier qu'une matrice est hermitienne et que toutes ses valeurs propres sont non négatives est une façon simple et calculatoire de s'assurer qu'elle est semidéfinie positive.

• Une matrice $P$ est semidéfinie positive si et seulement si $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ pour tout vecteur complexe $\vert\psi\rangle$ ayant les mêmes indices que les lignes et colonnes de $P.$

Une façon intuitive de penser aux matrices semidéfinies positives est de les voir comme des analogues matriciels des nombres réels non négatifs. Autrement dit, les matrices semidéfinies positives sont aux matrices carrées complexes ce que les nombres réels non négatifs sont aux nombres complexes. Par exemple, un nombre complexe $\alpha$ est un nombre réel non négatif si et seulement si

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

pour un certain nombre complexe $\beta,$ ce qui correspond à la définition de la semidéfinition positive lorsqu'on remplace les matrices par des scalaires. Même si les matrices sont des objets plus complexes que les scalaires en général, c'est néanmoins une façon utile de penser aux matrices semidéfinies positives.

Cela explique aussi la notation courante $P\geq 0,$ qui indique que $P$ est semidéfinie positive. Remarque importante : $P\geq 0$ ne signifie pas que chaque entrée de $P$ est non négative dans ce contexte ; il existe des matrices semidéfinies positives ayant des entrées négatives, ainsi que des matrices dont toutes les entrées sont positives sans pour autant être semidéfinies positives.

Interprétation des matrices densité

À ce stade, la définition des matrices densité peut sembler assez arbitraire et abstraite, car nous n'avons pas encore associé de signification à ces matrices ni à leurs entrées. La façon dont les matrices densité fonctionnent et peuvent être interprétées sera clarifiée au fil de la leçon, mais pour l'instant il peut être utile de penser aux entrées des matrices densité de la manière suivante (quelque peu informelle).

• Les entrées diagonales d'une matrice densité nous donnent les probabilités que chaque état classique apparaisse si on effectue une mesure dans la base standard — on peut donc penser à ces entrées comme décrivant le « poids » ou la « vraisemblance » associés à chaque état classique.

• Les entrées hors diagonale d'une matrice densité décrivent le degré auquel les deux états classiques correspondant à cette entrée (c'est-à-dire celui correspondant à la ligne et celui correspondant à la colonne) sont en superposition quantique, ainsi que la phase relative entre eux.

Il n'est certainement pas évident a priori que les états quantiques doivent être représentés par des matrices densité. En effet, il y a un sens dans lequel le choix de représenter les états quantiques par des matrices densité conduit naturellement à la description mathématique complète de l'information quantique. Tout le reste concernant l'information quantique en découle de façon assez logique !

Lien avec les vecteurs d'état quantiques

Rappelons qu'un vecteur d'état quantique $\vert\psi\rangle$ décrivant un état quantique de $\mathsf{X}$ est un vecteur colonne de norme euclidienne égale à $1$ dont les entrées ont été mises en correspondance avec l'ensemble des états classiques $\Sigma.$ La représentation en matrice densité $\rho$ du même état est définie comme suit.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Pour être clair, on multiplie un vecteur colonne par un vecteur ligne, donc le résultat est une matrice carrée dont les lignes et les colonnes correspondent à $\Sigma.$ Les matrices de cette forme, en plus d'être des matrices densité, sont toujours des projections et ont un rang égal à $1.$

Par exemple, définissons deux vecteurs d'état de qubit.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Les matrices densité correspondant à ces deux vecteurs sont les suivantes.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Voici un tableau listant ces états ainsi que quelques autres exemples de base : $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ et $\vert {-}\rangle.$ Nous reverrons ces six états plus loin dans la leçon.

Vecteur d'état	Matrice densité
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Pour un exemple supplémentaire, voici un état tiré de la leçon Systèmes uniques du cours « Bases de l'information quantique », incluant sa représentation en vecteur d'état et en matrice densité.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Les matrices densité qui prennent la forme $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ pour un vecteur d'état quantique $\vert \psi \rangle$ sont appelées états purs. Toutes les matrices densité ne peuvent pas s'écrire sous cette forme ; certains états ne sont pas purs.

En tant que matrices densité, les états purs ont toujours une valeur propre égale à $1$ et toutes les autres valeurs propres égales à $0.$ Cela est cohérent avec l'interprétation selon laquelle les valeurs propres d'une matrice densité décrivent le caractère aléatoire ou l'incertitude inhérente à cet état. En essence, il n'y a aucune incertitude pour un état pur $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — l'état est définitivement $\vert \psi \rangle.$

En général, pour un vecteur d'état quantique

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

pour un système à $n$ états classiques, la représentation en matrice densité du même état est la suivante.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ainsi, dans le cas particulier des états purs, on peut vérifier que les entrées diagonales d'une matrice densité décrivent les probabilités qu'une mesure dans la base standard retourne chaque état classique possible.

Une dernière remarque sur les états purs : les matrices densité éliminent la dégénérescence liée aux phases globales que l'on rencontre avec les vecteurs d'état quantiques. Supposons que nous ayons deux vecteurs d'état quantiques qui diffèrent par une phase globale : $\vert \psi \rangle$ et $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ pour un certain nombre réel $\theta.$ Comme ils diffèrent par une phase globale, ces vecteurs représentent exactement le même état quantique, bien que les vecteurs eux-mêmes puissent être différents. Les matrices densité que l'on obtient à partir de ces deux vecteurs d'état, en revanche, sont identiques.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

En général, les matrices densité fournissent une représentation unique des états quantiques : deux états quantiques sont identiques, générant exactement les mêmes statistiques de résultats pour toute mesure possible qu'on peut leur appliquer, si et seulement si leurs représentations en matrice densité sont égales. En termes mathématiques, on peut exprimer cela en disant que les matrices densité offrent une représentation fidèle des états quantiques.